Re: [機統] 紅黑牌翻牌問題

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《buzzy0306 (阿嘎咪)》之銘言：
: 各位好，請問一個簡單的期望值問題
: 假設有2n張牌，內各有n張紅牌n張黑牌
: 接著一張一張翻開
: 每當翻出一張紅牌，若當下已翻開的紅牌數大於黑牌數，則贏得一塊錢
: 若否則什麼都不會發生(不會扣錢)
: 舉例，若n=2，然後翻牌的結果是紅黑紅黑，則結果是贏兩元，若是黑紅黑紅，則沒贏錢，若是紅紅黑黑，贏兩元，若是黑黑紅紅，則沒贏錢
: 求最終贏得的錢的期望值
: -----
: Sent from JPTT on my Sony G8142.


設翻出紅牌 +1, 翻出黑牌 -1, 則會得到一個整數數列 a
0 = a_0, a_1, a_2, ..., a_(2n) = 0

考慮最小的正整數 k 使得 a_(2k) = 0
則 (1) a_1, ..., a_(2k-1) > 0, 賺到 k 塊錢
   (2) a_1, ..., a_(2k-1) < 0, 沒錢


現在考慮任何 a, 皆有一個數列 -a
且兩個數列顯然加起來會賺到 n 元

因此贏錢的期望值是 n/2 元


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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.9.172
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1551208942.A.818.html
推 buzzy0306   : 我覺得你可能搞錯了我原本的題意，不過還是感謝
well, 我們來測試一下吧

紅紅黑黑  2
紅黑紅黑  2
紅黑黑紅  1
黑紅紅黑  1
黑紅黑紅  0
黑黑紅紅  0

      E = 1

紅紅紅黑黑黑  3
紅紅黑紅黑黑  3
紅紅黑黑紅黑  3
紅紅黑黑黑紅  2
紅黑紅紅黑黑  3
紅黑紅黑紅黑  3
紅黑紅黑黑紅  2
紅黑黑紅紅黑  2
紅黑黑紅黑紅  1
紅黑黑黑紅紅  1
黑紅紅紅黑黑  2
黑紅紅黑紅黑  2
黑紅紅黑黑紅  1
黑紅黑紅紅黑  1
黑紅黑紅黑紅  0
黑紅黑黑紅紅  0
黑黑紅紅紅黑  1
黑黑紅紅黑紅  0
黑黑紅黑紅紅  0
黑黑黑紅紅紅  0

          E = 3/2

還需要其他測試嗎ow o

※ 編輯: Desperato (101.12.9.172), 02/27/2019 13:55:28
推 XII         : 然後你會神奇的發現,每個數字出現次數相同喔~
→ Desperato   : 哇這個我不知道 XII可以不用刪文的啊
推 arthurduh1  : cf. Chung-Feller Theorem
→ XII         : 被樓上發現是Chung-Feller了XD
→ arthurduh1  : >///<
→ Desperato   : 哇這是什麼啊wwwww