Re: [代數] 關於有限交換群的問題

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《shiburin (希布凜)》之銘言：
: 前言:
: 如果 A 是一個加法有限交換群, order 是 n = p1^(r1)...pk^(rk)
: 那麼有這個 direct sum 的分解:
: A = A1+...+Ak, 其中 Ai 是滿足 pi^(ki)x = 0 的 x 組成的
: 問題:
: 現在我要證明 Ai 的 order 是 pi^(ki)
: 我原本想從 Ai 的 order 跟 pi^(ki) 之間可能存在不等式的思路去證
: 但是想不出來
: 請教各位
: 謝謝


Sylow theorem 能用嗎？可以的話

Let P1 be a sylow p1-subgroup of A

then |P1| = p1^r1, hence (p1^r1)x = 0 for all x in P1, thus P1 <= A1

Then we have |A1| >= p1^r1 and |A| >= n so |A1| = p1^r1

顯然 P1 是 normal subgroup of A, 所以 P1 是唯一的


不然就用 FT of finite abelian group

很快可以找到一個 A1 的 order 剛好就是 p1^k1


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嗯嗯ow o

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推 shiburin    : 謝謝:)