Re: [中學] 一個乘法的疑問

[Desperato (肥鵝)]

※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
:         1,3,5,7,8,9 把這六個數字 分成兩組3位數相乘
:         尋求乘積最大?
:         直覺甚至是確定的 我們會把這兩組的百位數分別設成9和8開頭的三位數
:         其餘的再去討論
:         請問 8和9當開頭 這可以證明嗎??  還是說這很理所當然??



(Lem)  A < B。
       設 M1 = M + AP, M2 = M + BP
          N1 = N + BQ, N2 = N + AQ

       則 M1 N1 <= M2 N2  iff  MQ <= NP

  (pf) M2 N2 - M1 N1
       = (M + BP)(N + AQ) - (M + AP)(N + BQ)
       = (B-A)NP + (A-B)MQ
       = (B-A)(NP-MQ)


(Coro) A < B，Q > 0。
       設 M1 = M + AQ, M2 = M + BQ
          N1 = N + BQ, N2 = N + AQ

       則 M1 N1 <= M2 N2  iff  M <= N

  (pf) 引用 Lem 設 P = Q

也就是說，如果 M < N 且 A < B 的話，交錯放會比較大



現在將兩個三位數視為 M1, N1
A, B 視為兩數交換的數字，M, N 是其餘不變的值
P, Q 視為位數值(例如A在百位數，P就是100)

如果 M1, N1 位數不同(例如四位數乘以三位數)
請將三位數最後面補零變成四位數(也就是假設 M1, N1 位數必定相同)
這樣以下的說法才會對


(Lem)  越大的數字，放越大的位數越好

  (pf) 設 A < B，但 A 在 M1 中的位置比 B 在 N1 中的位置前面。
       為了使用 Coro，將 N1 補零因此 A 和 B 位置對齊
       此時 M 肯定比 N 小(因為位數就輸了)，所以 A, B 交換數字會變大


所以填入數字的方式，就會是
先填最大位數 -> 填第二大位數 -> 填第三大位數 -> ...


(Lem)  同一位數中，小的數字要跟大的剩餘數字

  (pf) 設 A < B，準備放在同一位數
       根據 Coro，若 M <= N，將小的 M 和 大的 B 放一起，數字會比較大


這樣就完成 S 說法的證明。



舉例，1, 3, 5, 7, 8, 9 分成兩個三位數相乘，放法就是

(1) 兩個三位數是對齊的

(2) 9, 8 去百位數， 7, 5 去十位數， 3, 1 去個位數

(3) 9XX  ->  95X  ->  951
    8XX      87X      873

所以答案是 951 x 873


舉例，1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 分成二、三、四位數相乘

(1) 補成 XX00, XXX0, XXXX

(2) 9, 8, 7 去千位數，6, 5, 4 去百位數， 3, 2 去十位數， 1 去個位數

(3) 9___ -> 94__ -> 940_ (強制放0) ->
    8___    85__    852_              8520
    7___    76__    763_              7631

所以答案是 94 x 852 x 7631



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嗯嗯ow o

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推 cutekid     : 推(Y)
推 Starvilo    : D大可試試3乘3位數為何XD
推 Starvilo    : 來源：桃竹苗學科競賽
推 Starvilo    : 由算幾觀念941*852*763
→ harry921129 : 謝謝您~~
修改一些細節
※ 編輯: Desperato (101.12.9.172), 03/08/2019 23:46:52