Re: [幾何] 請問一題國中幾何

[Desperato (肥鵝)]

※ 引述《jenshi (小旭)》之銘言：
: https://imgur.com/a/2t8HM7K
: 目前有想到ADEC共圓之後用外冪
: 不知道還有沒有其他國中生容易理解的方法？


來做國中生肯定理解但是一點都不喜歡的方法吧(?)


設 AE = h, BD = x, DA = y, AC = √2y 顯然可得

(1) x^2 + y^2 = 5^2
(2) 2^2 + h^2 = (x+y)^2
(3) 3^2 + h^2 = 2y^2

由於題目需求，關鍵是消掉 x, y 就好

 (1)+(3)   x^2+ y^2+ 9+ h^2 = 25+2y^2

     (4)   x^2- y^2 = 16 - h^2

2(1)+(2)  2x^2+2y^2+ 4+ h^2 = 50+ x^2+2xy+ y^2

     (5)   (x- y)^2 = 46 - h^2

     (6)   (x+ y)^2 =  4 + h^2    (2) 左右交換


由 (4)^2 = (5)(6) 可得 (16-h^2)^2 = (46-h^2)(4+h^2)


設 z = h^2 可得 z^2 - 32z + 256 = -z^2 + 42z + 184

即 2z^2 - 74z + 72 = 0, z^2 - 37z + 36 = 0

顯然 z = 1 or 36, h = 1 or 6

由圖可知明顯 x < h, (4) 可得 16 - h^2 < 0, 因此 h = 6


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好吧我們來認真討論國中生會快樂一點的解法

設中心點垂心 H, 高 AE = h


由相似性質可得 △CEH ~ △CDB ~ △AEB ~ △ADH  (垂心基本相似)

由於實際上 △CDB = △ADH, 可得 AH = 5   (45度角用在這裡)

另外 △CEH ~ △AEB 考慮非斜邊的兩邊相似可得

3 : (h-5) = h : 2

h^2 - 5h - 6 = 0, h = 6, △ABC = 15



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嗯嗯ow o

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推 jenshi      : 哇塞！D大真高手！
推 wayne2011   : 其實我也是看老師的作法,才知道有junior的快樂解法.
推 wayne2011   : 因為TimJack近三年前問的中學還可以講senior"做法"~
推 wayne2011   : 寫出來[1+cot(pi/3)][1+cot(5pi/12)]=2~不會太難懂~
推 jonathanmeow: 一直在想45度要用在哪…原來是用在這裡…謝謝D大指
→ jonathanmeow: 導！！
→ Desperato   : 用在哪都好 解的出來就可以了...FAlin的解法我是很
→ Desperato   : 滿意的
推 Vulpix      : 我是一直在找相似形的解法，然後在這裡看到了^^