推 tyz : 感謝 完全沒想到可以這樣簡化~上了一課!! 03/16 20:45
※ 引述《tyz (秋星夜雨)》之銘言：
: ※ 引述《rsktdn5227 (璃藍)》之銘言：
: : https://i.imgur.com/ewTsOCY.jpg
: : 本人不才 完全想不到該如何下筆 還望板上諸位高手指點迷津
: 看完題目後 我先做了一個嘗試
: 101,1996,1997,1998...2004,2005,2006...2013,2014,2015
: 中位數
: 用這21個數字來帶入題目看看差距
: 然後發現...這就是解答XDDD
: 後來笑完之後 開始想要怎麼正規解~
: 題目說任11個數之和>其餘10個數之和
: 所以最小的11個數之和>最大的10個數之和
: 設此21個數由小到大為 a1,a2,a3,...a10,C,b1,b2,...b9,2015 C為中位數
: 則b1+b2+...+b9+2015<a1+a2+...a10+C ...式(1)
: 開始為101找位置
: 一、若101在較大10個數之中 則a1,a2...a10,C均小於100
: 其和不超過1100 與式(1)不合...X
: 二、若101為中位數C 則a1,a2...a10均小於100
: 其和不超過1100 與式(1)不合...X
: 三、若101為a10 則a1,a2...a9均小於100 C>=102
: =>a1+a2+a3...a9+101+C<92+93+...99+100+101+C=965+C
: b1+b2+b3...b9+2015>103+104+...110+111+2015=2978
: 代入式(1) 2978<965+C C>2013 不合...X
: 四、若101為a1 則a2,a3...a10均大於101 C>=111
: =>101+a2+a3...+a10+C<101+102+...110+C=1055+C
: b1+b2+b3...b9+2015>112+113+...119+120+2015=3059
: 代入式(1) 3059<1055+C C>2004
: 回頭用C=2005驗算
: b1,b2...b9=2006,2007...2014
: b1+b2+b3+...+b9+2015=20105
: =>101+a2+a3+...a10+2005>20105
: =>a2+a3+..+a10>17999
: =>別無選擇為1996~2004...#
: PS此題我有用計算機
: 若實際考試時無法使用計算機
: 可用(a1+an)*n/2公式
賺 P 幣
tyz的想法沒問題，以下只是寫完整一點並簡化
設 21 個數由小到大為 a_1, ..., a_21 = 2015
顯然由相異整數條件可得 i < j 則 a_j - a_i >= j-i
並且等號成立時，中間項 a_i, ..., a_j 會自動變成連續正整數
任意 11 數大於另外 10 數 <==> 較小 11 數大於較大 10 數
因此可得 a_1 + ... + a_11 > a_12 + ... + a_21
也就是 a_1 > (a_12 - a_2) + ... + (a_21 - a_11)
>= 10 + ... + 10 = 100
a_1 > 100 即 a_1 >= 101, 那 a_1 就只能是 101
等號成立的條件是所有大於等於其實都是等於
a_12 - a_2 = ... = a_21 - a_11 = 10
因此從 a_2 到 a_21 是連續正整數
可得 a_11 = 2005
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嗯嗯ow o
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