※ 引述《ben102938 (善解人衣)》之銘言：
: ※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: : f(x+2y)=f(x)+f'(x)(2y)+f"(x)(2y)^2/2+....
: : =f(x)+g(y)
: : f'(x)=f'(0)=2
: : f"(x)=0
: : f(x+2y)=f(x)+4y
: : f(x)=2x+1
: : g(y)=4y
: : g(10)=40
: 剛剛寫題目遇到這題類似的，但題目只有 f(x+2y)=f(x)+g(y)，請證明f'(x)為定值
: 沒有思路，求板上大神了
介紹一個和推文等價(其實沒有等價還需要更強條件f屬於C^1)
然後繞一大圈的方法
可以用均值定理(Mean value theorum)
但題目可能要加上f在R上連續可微(C^1)，g在R上可微
先有f(x+2*0)=f(x)+g(0)
f(x)=f(x)+g(0)
0=g(0)
f(x)和g(x)在R上可微imply在R上連續，因此R上給定任意兩點可以使用均值定理
f(x+2y) =f(x)+g(y)
f(x+2y)-f(x) =g(y)-0=g(y)-g(0)
f(x+2y)-f(x)/2y=g(y)-g(0)/2y
左式By MVT 存在a, x<a<x+2y
使得f'(a)=g(y)-g(0)/2y
其終g(y)-g(0)/2y在y趨近於0時存在等於(1/2)g'(0)，因為g在0也可微
以下論證對於任意x可以成立。
令y_n=1/n
依照上段方法使用均值定裡
均存在a_n , x< a_n < x+2y_n
使得f'(a_n)=g(y_n)-g(0)/2(y_n)------(*)
根據夾擠定裡當n趨近無限大時，a_n的極限值存在而且等於x
當(*)左右兩邊n趨近到無限大時可以得到：
因為f屬於C^1
得到 f'(x)=(1/2)g(0)為一個constant
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