Re: [中學] 邊長2 3 4的△, 內心相關

[cyberlancer (Cyber)]

※ 引述《Kouson (時代)》之銘言：
: △ABC, c=2,a=3,b=4, 若I為其內心, 則
: 向量AI．向量BC = 3
:     (內積)
: 請問要如何確認呢？
: 感覺先定出坐標 以兩邊半角找出內心座標的過程很繁鎖
: 不知道有沒有比較快確認的方法 謝謝

利用 OI = a/(a+b+c) OA + b/(a+b+c) OB + c/(a+b+c) OC
得 AI = 4/9 AB + 2/9 AC
又 BC = AC - AB
故 AI‧BC = (4/9 AB + 2/9 AC)‧(AC-AB)
          = 4/9 AB‧AC + 2/9 |AC|^2 - 4/9 |AB|^2 - 2/9 AC‧AB
          = 2/9 AB‧AC + 2/9 * 4^2 - 4/9 * 2^2
          = 2/9 AB‧AC + 16/9

又AB‧AC由餘弦定理 = 2*4*cos角A = 2*4 *(2^2+4^2-3^2 / 2*2*4 )
                                = 11/2
原式 = 2/9 * 11/2 + 16/9
     = 27/9
     = 3


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推 Kouson      : 謝謝