推 handsome0716: 非常感謝你的仔細說明 剛剛看了三四遍好像懂了5、6 03/31 04:11
→ handsome0716: 成 起床後我再重新看個幾遍 03/31 04:11
→ handsome0716: 再次感謝花時間幫忙解惑 03/31 04:12
推 XinYuan : 好棒的教學文! 04/03 07:47
從原文問題以及推文的討論，我想分幾個主題來說明
大體上就是定義、符號的不夠完備才導致的困惑
【維度】
維度是個很通俗的概念，也就是因為通俗所以各個領域都可以定義維度
在數學上就有很多種，如：
(1) 向量空間的維度
(2) 幾何圖形的維度
(3) 函數的變數個數也很容易被講成有幾個變數就是幾維
因此，你文中講的：fi= x+2y+3z 這樣不就變四維 到底正確性如何，取決於你要問什麼
(a) φ=x+2y+3z 這個等式是什麼？
Ans: 定義φ：R^3 → R, φ(x,y,z):=x+2y+3z
所以要從各種維度來看的話是：φ是有三個變數(三維)的函數，把三維空間的
點打進一維空間
(b) 四維又是怎麼回事？
Ans: 定義θ：R^3 → R^4, θ(x,y,z):= (x,y,z,φ(x,y,z))
那θ就是一個把三維空間的點打進四維空間的函數
而這樣的函數造法你應該不陌生，就只是把函數圖形化(graph)
舉個低維度的例子來說，f(x) = x是個把一維打到一維的函數
但是為什麼我們很常拿二維平面來說明？
因為我們直接討論了 g(x):=(x, f(x)) 這個函數了
(c) x+2y+3z = 6 又是怎麼回事？
Ans: x+2y+3z = 6 的定義是，那些在R^3空間中符合這個equation所形成的集合
精確的寫法是 S:={(x,y,z)€R^3│x+2y+3z = 6}
那這個集合是幾維？這答案又再度取決於問題本身
(i) 以母空間來看：S坐落在三維空間
(ii) 以微分幾何來看：S本身是二維流形
(可以由兩個變數來描述S，就是z=z(x,y)=(6-x-2y)/3)
(iii) 以線性代數來看：S是二維的仿射空間
【顯函數 VS 隱函數】
顯函數跟隱函數沒有什麼嚴格的定義，大體上顯函數就是人為直接定義的明顯函數
隱函數就是給一個函數等式 f(x_1,...,x_n) = C
如果有函數g，比如g(x_1,x_2)，滿足f(x_1,x_2,g(x_1,x_2)) = C
那就稱g是隱函數
像是 x^2 + y^2 = 1, x = (1-y^2)^0.5
x = -(1-y^2)^0.5
y = (1-x^2)^0.5
y = -(1-x^2)^0.5
這些都是關係等式的隱函數，只是要注意定義域
因此，稍稍回到你的φ(x,y,z) = C，題目有時又說z = z(x,y)，這樣的敘述嚴格如下：
令φ為一個把R^3子集打到R^1的函數，並且存在一個函數f(x,y)使得φ(x,y,f(x,y)) = C
注意到紅色的地方在general case只能是假設，並非所有的關係等式都有隱函數
在高等微積分裡面的隱函數定理就是在探討這個問題：
一個夠好的函數的關係等式才能有夠好的隱函數
當然這邊不講什麼叫作夠好，keyword: implicit function theorem
【全微分 VS 符號定義】
再來就是混淆你的重點，首先看一下這些簡單的微分與積分的例子：
(1) f'(x) = df(x)/dx
=> f'(x)dx = df(x)
Q：dx、df(x)是啥？
如果dx = h，df(x) = f(x+h) - f(x)
那依據平均值定理我們只會得到 f'(c)dx = df(x), c lies between x,x+h
但是，又常聽到，如果h夠小，那f'(c)→f'(x)
到底要多小？所以f'(x)dx = df(x)到底對不對？
如果對，平均值定理不就是錯的？
如果錯，那dx, df(x)又是什麼？
(2) ∫sinx*cosx dx
= ∫sinx dsinx
= (1/2)(sinx)^2
這套流程是對的，這樣 dsinx = cosx dx 確實是對的阿
(3) So, (1)與(2)有疑惑的話，多變數全微分中的 df = f_xdx+f_ydy一定更幹了
而且你之後不只會過微分式，有些還會這樣寫：
因為 df(x,y) = f_x(x,y) dx + f_y(x,y) dy
所以 df(x(t),y(t)) = f_x(x(t), y(t)) dx(t) + f_x(x(t), y(t)) dy(t)
= f_x(x(t), y(t)) x'(t)dt + f_x(x(t), y(t)) y'(t)dt
接著伴隨一堆《把A看成變數、把B看成常數》的說法就夠搞人了
以上這些糾結在一起的例子，到底是怎樣？
(a) 在初等微積分裡，df, dx, dy，全部都是沒有定義
教學時要用"微小變化量+畫圖"去描述微積分的本質很OK，只是沒有定義這些符號
的話，拿來計算或是證明當然行不通，也就是因此才會有一堆混淆
(b) 在高等微積分的積分從黎曼積分拓展到黎曼-斯蒂爾傑斯積分
正式了給予 ∫sinx dsinx 這類積分式的定義
在初微中，∫sinx*cosx dx = ∫sinx dsinx 是不合法的，因為後者沒定義
但記得，這裡也還沒賦予 dx, dsinx定義
(c) 在微分幾何的微分形式中，正式賦予df, dx的嚴格定義(differential form)
因此，你在大學時期有用到全微分來解釋或證明的話，99%的結果是對的，但是只是
概念上的正確以及好想像，因為根本還沒定義那些符號遑論用那些符號證明東西
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終於可以來回答細項的問題了：
※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之銘言：
: https://i.imgur.com/2vJQErn.jpg
: 請問這個
: 知道圖片那行是全微分
: 1.一直不明白dy的部分為什麼是0 第一行式子到第二行明明沒有做對x偏微的動作啊
別理他，直接用有嚴格定義的符號做一次：
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<Lemma>(多變數chain rule)
f(x(t),y(t))'(t) = f_x(x(t),y(t))*x'(t) + f_y(x(t),y(t))*y'(t)
<推廣>
fix any t, 對s取微分，代上面公式上面我們有
f(x(s,t),y(s,t))'(s)
=f_x(x(s,t),y(s,t))*x(s,t)'(s)+f_y(x(s,t),y(s,t))*y(s,t)'(s)
而fix t對s做微分，完全就是對s的偏導數，因此(以p代替偏導數的符號)
f(x(s,t),y(s,t))'(s) 就是 p(f(x(s,t),y(s,t)))/ps
x(s,t)'(s)就是 p(x(s,t))/ps
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計算題目之前先提一個很容易混淆的符號：偏微分與合成函數
f_x(x(t),y(t))這個符號的意義是，f在(x(t),y(t))這個點的第一個變量偏微分值
也有人說成先偏微完再帶入(x,y)=(x(t),y(t))
因此不少人會把那兩個x搞在一起
為了跟題目符號一致我把<推廣>寫成：
f(a(x,y),b(x,y))'(x)
=f_x(a(x,y),b(x,y))*a(x,y)'(x)+f_y(a(x,y),b(x,y))*b(x,y)'(x)
其中 f(a(x,y),b(x,y))'(x) = p(f(a(x,y),b(x,y)))/px
a(x,y)'(x) = p(a(x,y))/px
b(x,y)'(x) = p(b(x,y))/px
切記f_x只是代表對第一個變量、f_y則是代表第二個
接著實際算φ(x,y,z(x,y)) = C，把它寫成可以套推廣公式的符號：
φ(a(x,y),b(x,y),z(x,y)) = C
其中 a(x,y) = x
b(x,y) = y
接著對x做微分代公式得到
φ_x*(pa/px) + φ_y*(pb/px) + φ_z*(pz/px)
^^^^^^^
0的是這一項，就是圖中的dy所在位置
你說圖中沒有對x做偏微，我們看一下全微分
dφ = φ_x dx + φ_y dy + φ_z dz
圖中直接拿這個式子做，要同除以dx才符合我們要得，即
dφ/dx = φ_x dx/dx + φ_x dy/dx + φ_z dz/dx
其中
dφ/dx = pφ/px
dx/dx = px/px = 1
dy/dx = py/px = 0
dz/dx = pz(x,y)/px = z_x px/px + z_y py/px
= z_x*1 + z_y *0
(再次聲明，全微分的各種等號成立現階段不要嚴格看待他)
說穿了，用全微分來算完全可以寫成上面講的<推廣>所計算的嚴格步驟
: 2.有點弄不清楚這到底是隱還是顯函數 fi(x,y,z)不就代表fi是x y z的函數嗎則此為顯
: 函數
: 可是隨便舉個式子x+2y+3z=6 這樣是隱吧？
: 如果說是fi= x+2y+3z 這樣不就變四維了嗎
顯與隱、維度問題已回答
: https://i.imgur.com/2QgXhV1.jpg
: 例題 只有三個未知數 沒有圖一中說的fi請問是怎麼代法二的
: 圖一中說的fi在圖二是指什麼...
(1) 根本沒有<法一>跟<法二>的區別，法二的公式完全就是由法一的步驟證明來的
(2) e^(xz) + sin(xy) = 6 的φ是自己定義的，而如果要代法二的公式，他的意思就是
φ(x,y,z) := e^(xz) + sin(xy) 並且假設 φ = 6存在隱函數 z(x,y)使得
φ(x,y,z(x,y)) = 6
: 問得有點語無倫次 不知道自己到底哪裡卡住了
: 我覺得我需要互動式的問答...因為是補線上課程 問了老師老師好像也不懂我在說什麼只
: 說了對x偏微y是常數dy是0 但好像不是我的問題點...
: 題外話 讀到卡住的感覺好痛苦啊 一整個很難繼續往下讀 昨晚睡覺也都在想這個想到失
: 眠還是想不通
你失眠可是我現在好想睡QQQQ
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