[代數] 基礎數論 非線性丟番圖方程習題

[GYLin (月月掛長)]

https://i.imgur.com/RRzUPa7.jpg

Prove that the equation x^4 - y^4 = 2z^2
has no solutions in positive integers x, y, z.
[Hint: Because x, y must be both odd or both even, x^2 + y^2 = 2a^2
, x + y = 2b^2, x - y = 2c^2 for some a, b, c; hence, a^2 = b^4 + c^4 .]

我知道hint為什麼可以推到最後一句的形式, 造成題目的方程無解,

但是hint的第一句來的有點突然, x跟y奇偶性相同是怎麼推到 x^2 + y^2 = 2a^2 的啊?

這題應該是要先分解變成

(x^2+y^2)(x^2-y^2) = 2z^2

到這邊我除了知道x跟y必須奇偶性相同, 就推不出其他東西了...

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.169.142.130
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推 GaussQQ     : 因為x,y必定互值=>x^2+y^2和x^2-y^2互值
這兩個都是偶數, 所以應該不會互質吧?
※ 編輯: GYLin (1.169.142.130), 04/03/2019 20:47:59
推 Vulpix      : 公因數頂多有2。對這題來講，就剛好是2。
推 GaussQQ     : 嗯 推樓上 這就輾轉相除法搞一下就知道了
對ㄟ 感謝兩位^^
這章感覺就是要大量用到 XY = Z^2 && gcd(X,Y)=1 -> X=A^2 && Y=B^2 這個定理...
※ 編輯: GYLin (1.169.142.130), 04/04/2019 14:16:04