[代數] Z_n VS module 異同的解釋

[znmkhxrw (QQ)]

大約來說 Z_n 幾乎就是 "取餘數" 了

但是由於定義嚴格上來說還是不一樣的 具體詢問前先把符號給一給：

【Z_n】

任給正整數n，定義Z_n := {[a]：a€Z}, where [a] = {b€Z：n│a-b}

則 (1) Z_n = {[0], [1], ..., [n-1]}

   (2) 可定義加法 ┼ 為 [a]┼[b] := [a+b] ---- (★)
       可定義乘法 Ⅹ 為 [a]Ⅹ[b] := [a*b]

【mod n】

任給正整數n，定義函數 %_n：Z→Z 為 %_n(a) := a除以n的餘數

則可證明 %_n(a+b) = %_n(%_n(a)+%_n(b)) --- (●)
  可證明 %_n(a*b) = %_n(%_n(a)*%_n(b))


【問題】

整體來說，疑惑有兩個：

(1) [] 比 %_n 乾淨就只是差在因為定義了[]的運算所以可以簡化%_n算式？

(2) a = [a] = [[a]] = %_n(a) 這些如果狂混用都不會錯...想找個合理解釋

-------------------------- 來由如下 -------------------------

(1) 以加法為例，對(●)左右同取equvalence class的話，過程如下：

       [%_n(a+b)] = [%_n(%_n(a)+%_n(b))]

    => [a+b]      = [%_n(a)+%_n(b)] ... 因為 [a] = [%_n(a)] obviously

                  = [%_n(a)] + [%_n(b)] ... (★)的定義

                  = [a] + [b]

    雖然不意外的回到了 [a] + [b] = [a+b]

    但是我怎麼有種：(i) 從(●)的證明結果推論到(★)的定義的感覺

                        雖然整個邏輯沒有錯，但是無法描述心中那股怪怪的感覺

                    (ii) equvalence class 跟 %_n 比較起來就只給我一種

                         幫忙去除最外層的%_n的功用而已

                         (先不論[a]可以推得各種代數性質，單純比較[a]與%_n)

(2) 會問這些問題源自於比較下列三個方法的計算：

    y = %_n(ax+b)

    z = %_n(ay+b)

    比較三個方法化簡z

    【mod】

    z = %_n(ay+b)

      = %_n( %_n(ay) + %_n(b) )

      = %_n( %_n(%_n(a)*%_n(y)) + %_n(b) )

      = %_n( %_n(%_n(a)*%_n(ax+b)) + %_n(b) )

      = %_n( %_n(a*(ax+b)) + %_n(b) )

      = %_n( a*(ax+b) + b ) ... by(●)

    【equivalence class】

    z = %_n(ay+b)

 => [z] = [%_n(ay+b)]

        = [ay+b]

        = [a][y] + [b]

        = [a][%_n(ax+b)] + [b]

        = [a][ax+b] + [b]

        = [a*(ax+b) + b]

        = [%_n(a*(ax+b) + b)]

 => z = %_n(a*(ax+b) + b) ... 因為 0 =< z <= n-1

    【把a跟[a]跟%_n(a)混用】

    z = %_n(ay+b)

      = [ay+b] ... 把%_n(m) 當作[m]

      = [a*%_n(ax+b) + b]

      = [a*[ax+b] + b] ...把%_n(m) 當作[m]

     注意到 a€Z、[ax+b]€Z_n 不同集合，但是把a*[ax+b]當成可以乘[a*(ax+b)]也對

      = [[a*(ax+b)] + b]

      = [a*(ax+b) + b]

     一堆混用然後得到對的答案，但是並非湊巧

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不知道怎麼說這種感覺XDDD

雖是雖然知道 a, [a], %_n(a), [[a]] 彼此嚴格定義的差異，真的是不一樣

但是是基於怎樣的原因導致混用或是說他們一樣都沒有關係

當然我可以造一個1-1 onto函數說他們一樣

想聽聽有遇過這問題的板友們的想法 謝謝~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.226.184
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1554319331.A.9AA.html
→ Vulpix      : 不是喔，mod就是quotient ring的另一種寫法而已。
→ Vulpix      : 定義成取餘數也行，但是太狹隘了。
→ Vulpix      : 通常都是用「有相同餘數」這個看法。
→ Vulpix      : 所以也有 a=b mod I 這種寫法。就是 a-b \in I。
推 Desperato   : 同1F mod的定義不是取餘數
→ Desperato   : mod n 和 Z_n 的定義幾乎是一樣的
→ Desperato   : 會覺得加法乘法隨便用沒關係 是因為 Z_n 是 Z 透過
→ Desperato   :  ring homomorphism 打過去的 image 繼承了原本整
→ Desperato   : 數應有的加和乘法性質
→ Vulpix      : (excel的mod才是)
→ Desperato   : 然後中括號應該不會寫兩次就是
→ Desperato   : 嗯 程式的mod必須給個數字 可是數學不用
→ Vulpix      : 因為第二層[]必須是id，所以不寫，意思變了。
謝謝D大跟V大的回覆 我先把mod改成%_n 想表達的就是取餘數

再來是綜合你們的回覆想再請問一下：

(1) Z_n 不是完全就是 quotient ring嗎？

    define a~b iff %_n(a) = %_n(b) (也等價於 n│a-b)

    則定義 Z_n := Z/~ = {[a]：a€Z}，收集那些同餘的集合，就是equivalence class

(2) 我知道φ：Z → Z_n defined by φ(a) = [a] 是一個homomorphism

    也知道θ：{0,...,n-1} → Z_n defined by θ(a) = [a] 是一個可逆對應

    其中 {0,...,n-1} 就只是V大說的太狹隘 只取餘數沒有代數結構的集合

    但我心中難以解釋的點在於

    在沒有引入代數結構下 → %_n(a+b) = %_n(%_n(a)+%_n(b)) 可直接證明

    在引入代數結構下 → 在定義[a]┼[b] := [a+b]後

                        計算上就能取代掉%_n或是與%_n混用


    所以脈絡就是：因為 1. %_n 可以幫助我們定義等價類

                       2. Z上的加法跟乘法可以幫助這些等價類形成Z/~

                  所以 [a]跟%_n(a)就可以混用(?

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總結一下，我想表達的是：

我知道用 Z_n VS %_n 的每個步驟的嚴格差別

我知道混用在邏輯上是錯的

但是 我前天導個式子狂使用了 [a[ax+b] + b] = [a[ax+b]] + [b]

                                          = [a][ax+b] + [b]

                                          = [a(ax+b)] + [b]

                                          = [a(ax+b) + b]

洗澡時驚覺我怎麼拿Z跟Z_n的元素混著做運算？？

驚嚇後，從頭改成嚴格的運算，Z只能跟Z、Z_n只能跟Z_n

雖然混用結果是對的，但是就是想給自己一個混用也可以的理由

而目前想出的三個理由都讓覺得沒那麼說服我

(1) 因為 φ：Z → Z_n defined by φ(a) = [a] 是一個homomorphism

    所以 所以Z跟Z_n可以混用

(2) 因為 θ：{0,...,n-1} → Z_n defined by θ(a) = [a] 是一個可逆對應

    所以 所以Z跟Z_n可以混用

(3) 因為 [a] 是由%_n定義來的而且 剛好 [a] 可以簡化 %_n 的計算

    所以 所以Z跟Z_n可以混用

如果理由就是這些，只是個人接受度的問題，那我就OK

所以我才比較好奇板友們對於這件事的看法是什麼

想看是否有其他我能參考的說法

謝謝~~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 11:21:03
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 11:22:26
推 Vulpix      : 那個運算應該是a[ax+b] + [b] = [a(ax+b) + b]才對
→ Vulpix      : 你的記號中，能加上[]的只有整數。Z_n的東西不行。
推 Vulpix      : 如果是你的我流計算，想知道為什麼記號可以混用，
→ Vulpix      : 說得玄一點，就是你心中其實沒有a，有的只是[a]。
→ Vulpix      : [a][b]=[ab]是ring multiplication，而a[b]=[ab]是
→ Vulpix      : ring Z acting on Z_n。
這解釋有感覺~~謝謝V大~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 14:03:47
推 giraffe1021 : mod 不是 module吧 你要說的應該是 modulo 才對 所
→ giraffe1021 : 謂的 module 是一種代數結構 可以搜尋module theory