[微積] 極座標下的對稱性檢查法

[NTUclyeng (yeng)]

各位大大好，微積分中在極座標的章節有提到對稱性檢查法這個東西。
其中要檢查一個圖形有沒有對稱於原點，有兩種方法。
一、將r改成-r看式子有沒有變化，不變即對稱於原點。
二、將theta改成(pi+theta)，看式子有沒有變化，不變即對稱於原點。

但是在有些情況下用二這個方法式子不會變，檢查出有對稱於原點，但是用一這個方法式
子卻會改變（也就是檢查出「沒有對稱於原點」），想請問是因為什麼原因呢？

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推 yangs0618   : 能具體舉你說的反例嗎
→ NTUclyeng   : 比如 r = cos(2theta)
推 tommyxu3    : 你誤會它的意思了 它的不變不是指式子 而是圖形
→ tommyxu3    : 你舉最簡單的例子  r=1 和 r=-1
→ tommyxu3    : 顯然這兩個式子不同  但卻都是同個圖形  因此r=1對
→ tommyxu3    : 原點對稱
推 tommyxu3    : 比方說 r^2 =\cos\theta 也是原點對稱
→ tommyxu3    : 但如果把\theta換成\theta + \pi 式子也不一樣
→ tommyxu3    : 所以看式子是錯的   要看圖形
→ Ricestone   : 兩個方法導出來的結果當然不一樣，但是你邏輯錯了
→ Ricestone   : 這兩個都是充分條件而已，所以不成立不代表會檢查出
→ Ricestone   : 「沒有對稱於原點」
→ tommyxu3    : 如果用圖形解釋的話  是充要條件
→ tommyxu3    : 特別地  如果是方程式一模一樣的情形  當然會推得
→ tommyxu3    : 圖形一樣  自然會有對稱的結論
→ Ricestone   : 我是說原po的兩個方法
→ Ricestone   : 應該說，就是因為畫圖相對麻煩才會想要只用式子看
→ Ricestone   : 可惜的是這些方法只是充分條件
推 Desperato   : 如果 f(r,theta) = 0 對原點點對稱 有可能同時 f(
→ Desperato   : r) != f(-r) 且 f(theta) != f(theta+pi) 嗎
推 Desperato   : 我覺得 theta 的情況圖形夠好的話可以證明
→ Ricestone   : 我剛剛也是有這樣猜想，不過還是先指出原po邏輯錯誤
→ Desperato   : 寫成 r = g(theta) 然後用週期條件寫成 fourier t
→ Desperato   : ransform 這樣證不了嗎
推 LPH66       : r = cos(2theta/3) ? http://tinyurl.com/y5conbfn
→ Ricestone   : 應該沒錯
→ Desperato   : 嗯 這樣兩個檢查都不可逆了