Re: 三角形幾何問題-高師大數學系甄選試題

[Desperato (肥鵝)]

※ 引述《icu (這是可以說的秘密)》之銘言：
: https://i.imgur.com/Wt1dBYU.jpg
: 104年高師大數學系甄選第一題
: 請各位高手協助，謝謝。


以下以 L 代替小寫 l 方便閱讀


考慮四個三角形

△ABC ~ △AEF ~ △DBF ~ △EDC

邊長比例為

  1   :  cosA :  cosB :  cosC


因此 (L_1 + L_2) : L_2

   = (△AEF + △DBF + △EDC 周長) : (△ABC 周長)

   = (cosA + cosB + cosC) : 1


所以剩下的問題是要證明

r/R = cosA + cosB + cosC - 1   (*)

cosA + cosB + cosC - 1
= -cos(B+C) + cosB + cosC - 1
= sinB sinC - (1 - cosB)(1 - cosC)
= 4 sin(B/2) cos(B/2) sin(C/2) cos(C/2) - 4 sin^2(B/2) sin^2(C/2)
= 4 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)

sin^2(A/2)
= sinA tan(A/2) /2
= a/(2R) r/(s-a) /2 = ar/(s-a)(4R)

因此

16 sin^2(A/2) sin^2(B/2) sin^2(C/2)
= 16 abc r^3 / (s-a)(s-b)(s-c)(64R^3)
= (abc/4R) (sr) / s(s-a)(s-b)(s-c) * r^2/R^2
= r^2/R^2



總覺得可以用其他方法繞過去...


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嗯嗯ow o

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推 Vulpix      : (acosA+bcosB+ccosC)/(a+b+c)比例都是這個。