推 keyesleo : 非常謝謝，您的回答勝過很多物理數學裡的描述！ 04/11 22:31
※ 引述《keyesleo》之銘言：
: 我看物理書中的敘述，delta(0)的平方對實數軸做積分的確是寫做delta(0)，
: 但這樣的分佈，如果先直觀的視為「函數」，則我自己想到了一個問題
: 考慮一維的薛丁格方程，且為了簡化，僅討論homitonian的某個特定的本徵態，即只對應單一的E
: 即 -h/(2m) d^2/dx^2 + V = E
: 以上就直接把波函數作用上去
: 當此薛丁格方程，寫成對位置的函數時，若其對應的V為一delta(0)時，我們可以將等號左右兩邊在X=0處對
: -epsilon 到+epsilon做積分，
: 則因delta(0)積分後為一有限的值，因此波函數對位置的一次微分，在X=0亦是有限的不連續，因此波函數本身是連續的
: 但現在問題來了
: 如果我們假定V為delta(0)的平方，則當我們將薛丁格方程在X=0的兩邊附近做積分時，波函數對位置的一次微分就差不多是一個pulse了，而我們再對x做一次積分時，可得波函數在X=0附近是有限的不連續函數
: 現在問題來了，當波函數如果不連續，其在p 域的投影，因為傅立葉轉換，仍然有合理的描述
: 但唯一可以（是不是唯一我不清楚）反駁此波函數的立足點，就是其對於此波函數在X=0做p=-ih d/dx 運算為無限大，此違背物理要求
: 但這邊就怪了
: 「一般而言」在處理波函數是否連續，以及波函數對位置的一次微分是否連續，都直接可以用薛丁格方程去認定，而不需要用到這個外加的p=-ih d/dx 物理限制條件，但在這邊卻需要額外設立為限制條件。
: 所以我想問了，delta(0)的平方「長得樣子」到底有沒有對應到「長得很像」的函數，即對應到實質的V？
: 還有，delta(0)的平方的「函數形狀」到底長得什麼樣子
: 謝謝
: ※ 編輯: keyesleo (49.216.247.132), 04/11/2019 19:32:50
就我所知，物理學上是可以容許一些數學上好像有點問題的部分，
擁有物理意義的解釋。
這篇會用數學的角度，尤其是measure theory去探討這個問題
首先，大多數的理工生，對delta(x)的定義應該是:
[1]除了x=0以外，其他地方皆為0;
[2]delta對全實域積分，值為1
現代積分理論，是建立在measure thoery之上(以我所知)。
上述這樣子的函數，如果滿足[1]那積分必然為0，
因為x=0 has Lebesque measure zero
白話一點就說，就是x=0一點的值，不會影響積分結果。
distribution theory (DT) 也是建立在measure theory之上，
在DT之中有些作者會用術語regular來形容這件事
(Dirac) delta is not regular.
https://www.mat.univie.ac.at/~stein/lehre/SoSem09/distrvo.pdf
可以參考這個lecture 的1.28 ~ 1.30
總之，沒有一個局部可積(local integrable)的real function
對應到"delta distribution"
這邊delta distribution 是用
<T_delta , phi> = phi(0)
來定義，其中phi(x) 是一個test function, <,>表示distribution，而不是內積
我認為你的操作、推導上要考慮兩個重要問題:
(1)delta是(extended) real function嗎?
(2)能積分嗎? 對等號兩邊能積分嗎?
在DT中，delta distribution 可以寫成 delta measure 積分的形式，
但請注意，不是某個(local integrable) function積分的形式
因為以function 的角度，來處理delta會遇到非常非常多的問題
因此在DT中，會直接都轉成distribution。
實際上delta(x)不是良好定義的，T_delta 才是
所以在數學上，不會去探討delta(0)是多少，也不會探討delta(0)的平方是多少
我覺得可能沒回答到你的問題，或者說可能不是你期望的答案
歡迎討論，有誤的話也麻煩指出
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