推 alexan : 謝謝 04/17 10:17
※ 引述《alexan (冷藍)》之銘言：
: https://imgur.com/083NnSE
: 線段AB與CD互相垂直平分於O，已知線段AO長為a，線段DO長為b，
: 取點F使DF長=a-b，作AF中垂線:交AO於G，交CD於H
: 以G為圓心，GA為半徑畫圓
: 以H為圓心，HD為半徑畫圓
: 試證兩圓相切於I點
兩圓相切 <==> DH - AG = GH
抱歉沒什麼好方法，以下是硬幹出來的
設 AD 與 IG 交於 E，另外設 AD = c, s = (a+b+c)/2
△ADO ~ △HDE ~ △AEG ~ △HOG
設其邊長比例為 (1 = w) : x : y : z
由面積總和可得
w^2 + z^2 = x^2 + y^2 ...(1)
由 OD = b, ED = s-b 可得
bx = (s-b)w ...(2)
由 (△ADO周長 - △HDE周長) 整理可得
2s(w-x) = 2(s-b)(y-z) ...(3)
(1) 整理可得 (w-x)(w+x) = (y-z)(y+z)
代入 (3) 得到 (s-b)(w+x) = s(y+z)
代入 (2) 得到 bx + (s-b)x = sx = s(y+z)
亦即 x = y + z, 因此 DH = AG + GH
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好，我找到最快的解法了XD
計算 (△HDE 周長) - (△AEG 周長) - (△HOG 周長)
= (ED + DH + HE) - (AE + EG + AG) - (GO + OH + GH)
= (ED + DO) - (EA + AO) = s - s = 0
因此考慮比例即可得 DH - AG - GH = 0
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嗯嗯ow o
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