推 bunga0204 : 十分感謝 來研究研究 ow o 04/25 18:00
※ 引述《bunga0204 (幫嘎幫嘎)》之銘言：
: 題目在此
: https://i.imgur.com/AdYyX2t.jpg
: 這題是同學考二階筆試時碰到的
: 我跟他討論了很久，都想不出數學歸納法與題目給的條件如何使用
: 感覺是用微積分證明代數基本定理嗎?
: 感謝回答
這題應該是要用 (3) 那個矩陣
設 V_n = V(x1, ..., xn) = (v_ij), v_ij = (x_i)^j
設 y_n = [y1, ..., yn]^T
設 g_n(x) = sum_(i=1)^n a_n x^n, a_n 任意常數
則以下兩個敘述等價
(1) 若 x1, ..., xn 皆相異且非零
則 V_n y_n = 0 => y_n = 0
(2) 若 g_n(x) != 0 則不會有 n 個相異非零根
現在要證明，若 g_(n-1)(x) != 0 至多只有 n-2 個相異非零根
則 g_n(x) != 0 不會有 n 個相異非零根
既然提示都給成這樣，就用矩陣改寫吧
但即使是 (1) 也不很好用，因此應該要再換一個等價敘述
(0) 若 x1, ..., xn 皆相異且非零，則 det(V_n) != 0
好了這下簡單了，因為實際上變成要證明
若 det(V_(n-1)) != 0，則 det(V_n) != 0
這個是經典的 Vandermonde 矩陣降階法
所以這個證明原則上用不到微積分，是線性代數的範圍
================= 以下是代數基本定理的說明 =====================
實際上，這個問題問的，是個非常簡單的定理
(Thm 1) n 是正整數，則 n 次實數多項式最多有 n 個根
(pf) 給定 n 次實數多項式 f(x)
(1) 要馬 f(x) 根本沒有根
(2) 要馬 f(x) 有一個根 a，所以 f(x) = (x-a) g(x)
由數學歸納法得證
但由於證明中的步驟 (1)，所以沒法保證 f(x) 必有 n 個根
實際上也是錯的，例如 f(x) = x^2 + 1 是二次多項式，但沒有實根
代數基本定理是說明，如果可使用數字夠完整的話，就可以消去步驟 (1)
從而用 (2) 推出 n 次多項式都有 n 個根
(Thm 2) (代數基本定理) n 是正整數，則 n 次複數多項式至少有一個複數根
這個定理雖然短，但不管是哪個證明都麻煩到爆
Rudin那本高微上的證明恐怕是最簡單的一個了
================= 以下是亂七八糟的說明 =====================
本篇的證明在代數上還是有點意義的
可以把 Thm 1 中的實數換成其他數系
(Def) A 是 ED (Euclidean Domain), 代表 A 可以做加減乘 (沒有除)
並且滿足除法原理：給定 a, b != 0, 一定有 q, r
符合 a = b*q + r, 且 r = 0 或 0 < |r| < |b|
標準的例子是實數 R、有理數 Q、整數 Z
如果 A 是 ED 的話，則多項式 A[x] 也會是 ED
Thm 1 的 (2) 中用到 f(x) = (x-a) g(x)，就是用到除法原理的步驟
換成有理數多項式、整數多項式、或其他ED，證明都是一樣的
但代數上有些G8的數系(如 Z[√-5])，就是會讓除法原理失效
(Def) A 是整環 (Integral Domain), 代表 A 可以做加減乘
並且滿足： ab = 0 則 a = 0 或 b = 0
因此可以做乘法消去律： ac = bc, c != 0, 則 a = b
代數上對數系的分類很多，上面的分類都屬於下面
(上面的性質比下面強、上面對則下面也對)
很多例如整數 Z 擁有的性質，代數上會分出高下(強弱)
國高中常見的數系都是體質良好的數系
C,R,Q,Z/Z5 Field 除法
Z,Z[i] ED 除法原理
PID
UFD 唯一分解定理
GCD 最大公因數
Z[√-5] Integral Domain 乘法消去律
Z/Z6 Comm. Ring 乘法交換律
矩陣 Ring 加減法、乘法(不一定交換律)
為了讓這些數系也能使用 Thm 1，需要其他證明，就是本篇了
本篇證明成功的關鍵點是行列式 det(V)
因為行列式只有加減乘的運算，連 Ring 都可以用
但是反矩陣 V^(-1) 會用到除法，所以 Integral Domain 的必要性出現了
雖然 V^(-1) 不能用，但 adj(V) 是可以用的：
V adj(V) = det(V) I_n
也就是雖然沒有矩陣乘上 V 是 I_n，但有矩陣乘上 V 是 I_n 的倍數
因此原式變成 det(V) y = 0, 想丟掉這個 det(V) 就要用消去律
因此使用這個證明的話，Thm 1 就能開放給所有 Integral Domain 使用
--
嗯嗯ow o
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.20
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1556172426.A.545.html