推 Vulpix : ln。abs 左半支的斜率都是負的呀？ 04/27 01:02
推 silvermare : 是ln|x|的函數圖形 04/27 01:24
推 SP500StrongB: 你應該只畫了一般右邊的圖 04/27 01:54
是的
應該說 課本上一開始先定義了ln(x), x>0
並且附上y=1/x（第一象限）的圖和y=ln(x)的圖（右半邊）
然後就沒了
所以我對於x<0的意義感到非常困惑
我後來上網找到了所謂左半邊的圖
並試著從左半邊的圖去反思它的意義
https://i.imgur.com/Efs6un7.png
我的想法是
對數的定義域必定恆正
因此對於x在左半邊時
強迫加上負號
使得函數值與右半邊的圖相同
請問我這樣想正確嗎？
※ 編輯: yiting428 (1.169.202.70), 04/27/2019 02:40:54
推 Vulpix : 不正確(但很普遍)。因果關係不對。 04/27 02:45
→ Vulpix : 如果你的課本用 ∫_1^x dt/t 來定義 ln(x)，那你應 04/27 02:48
→ Vulpix : 那你應該從 ∫_{-1}^x dt/t 來思考，首先 x>0 是沒 04/27 02:50
→ Vulpix : 有意義的，因為會跨過 1/x 的奇點(x=0)。x=0 也一樣 04/27 02:52
→ Vulpix : 無意義，所以僅考慮 x<0。而從積分的定義，顯然 04/27 02:53
→ Vulpix : ∫_{-1}^x dt/t = ∫_1^{-x} ds/s，其中 s=-t。 04/27 02:56
→ Vulpix : 所以 ∫_{-1}^x dt/t = ∫_1^{-x} ds/s = ln(-x)。 04/27 02:56
→ Vulpix : 因此 ∫dx/x 這個不定積分，在 x>0 時會積出 ln(x) 04/27 02:59
→ Vulpix : +C，而在 x<0 時則是 ln(-x)+D，其中 C、D 都是常數 04/27 03:00
→ Vulpix : 幾乎在所有的用途上，都不會遇到跨越 x=0 的積分， 04/27 03:01
→ Vulpix : 所以 C、D 可能不同這件事顯得很不重要，都寫成 C。 04/27 03:02
→ Vulpix : 所以積分表上的公式才是：∫dx/x = ln|x| + C。 04/27 03:03
謝謝V大的詳細說明
從您的說明我清楚了∫dx/x在x分別為正負時的意義
另外，我原本想請教的是y=ln(x), x<0的意義
答案應該是沒有意義，對嗎？
因為從定義已經告訴我們
ln(x)的條件就是x>0
而且從指數和對數的意義也可以知道
ln(x), x<0是不存在的
若是非得討論x<0，則必須掛絕對值
也因此得到ln(-x)這個左半邊的函數圖形
請問這樣理解正確嗎？
感覺這問題很像廢話==
※ 編輯: yiting428 (1.169.202.70), 04/28/2019 00:21:41
推 wohtp : 問題仍然是你怎麼定義log這個函數。你現階段碰得到 04/28 01:13
→ wohtp : 的定義應該都不能拉到 x < 0 沒錯。 04/28 01:14
推 Vulpix : 目前 ln(負數) 是不存在沒錯。不過有一天你有可能 04/28 01:15
→ Vulpix : 會需要，那時候自然會去定一個符合當下需求的定義。 04/28 01:16
→ wohtp : 複變就有把log推廣到整個複數平面。當然，定義域不 04/28 01:17
→ wohtp : 同就不是同一個函數了。所以其實我應該改一下我的第 04/28 01:17
→ wohtp : 一句話。問題是：你說的是哪個log? 04/28 01:17
→ wohtp : 現在你這個log只肯吃正實數，那是沒錯的。 04/28 01:19
→ Vulpix : 其實還是 ∫_1^x dt/t 啦XD 只是積分路徑在複數平 04/28 01:20
→ Vulpix : 面上繞來繞去的而已。ln 的本質確實是 1/x 的反導 04/28 01:21
→ Vulpix : 函數。 04/28 01:21