Re: [其他] 對某段時間平均之變數的常微方

[saltlake (SaltLake)]

 花了一段時間釐清自己原本所想如下:

 假設已知某個微分方程式 dy/dt = f(y,t)

 其更具體的形式像是: dy/dt = -a*y+g(t)

 基於上列微分方程式，給定驅動項和初始條件，

 我們可求出對應的反應 y(t)

 對於 g(t)，我們可以在一個小時間段取平均而

 得到 gbar(t;s) = int( g(t,tt), tt = 0 to s)/s

 倘若 g(t) = sin(t) 則 s 是某個小於其週期的固定

 參數值，而我們對 g(t) 在這小時間段 s 取其平均值，

 使得 g(t) 從原本光滑函數變成片段線性函數 gbar(t,s)

 亦即在那小的時間段裡面 gbar(t;s) 是 g(t) 在那小時間

 段的平均值。

   現在想知道的是，如果我們也對原本微分方程式的解 y(t)

 在小時間段 s 取平均值而得到 ybar(t;s)，這個新變數

 ybar(t;s) 和 gbar(t;s) 之間會有怎樣的關係(式)?

   直接對原本的微分方程作前述的小時間段積分就好了嗎?

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→ Vulpix      : 反正你對 s 做的事情又不影響對 t 的微分。
→ Vulpix      : 誒，不對，g 本來是單變數函數 g(t)，不能突然變成
→ Vulpix      : g(t,tt) 這樣的雙變數函數吧。
 這就是我卡住的地方。

 g 函數從單變數函數"變成"雙變數函數的過程是這樣的。

 首先我們只知道 g 是 t 的函數，g = g(t) 例如 g(t) = sin(t) 週期 T

 接下來我們任意取小時間段 s (<T), 並且在這小時間段內做平均得到 gbar

 我們觀察到，在[0,T] 的 t 區間裡面，對於不同的 t 瞬間得的s區間-平均值

 都不同，所以 gbar = gbar(t)

 然後我們又觀察到對同個t瞬間取不同 s 的平均值不同，所以 gbar = gbar(s)

 於是就得出變數函數 gbar(t,s)

→ Vulpix      : 我猜你想寫的是：int( g(t+tt), tt = 0 to s)/s
→ Vulpix      : 那這樣還是一個捲積喔。還有你誤會了，捲積後函數只
→ Vulpix      : 會更平滑，gbar 至少也會像 g 一樣光滑，而不會是
→ Vulpix      : 片段線性函數。
→ Vulpix      : 然後是最後一個問題，答案：是。(a 是常數的話。)
※ 編輯: saltlake (114.44.246.26), 04/28/2019 10:49:07