關於一題積分不同做法卻得到不同的結果

[ac01965159 (leeleo)]

https://i.imgur.com/1cvNB7z.jpg
題目跟兩個不同做法寫在圖片中，第一個做法是轉成雙變數再改變積分順序，第二個做
法是利用已知的積分結果，去推得答案。
但是不解的是為何兩個方法不同，結果也不同，謝謝各位。


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.136.142.142
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1557191168.A.0E6.html
→ tommyxu3    : 上面的做法你要確定裡面的函數可積才可以換順序
→ tommyxu3    : 下面的做法第一項為何是\pi/4?
→ ac01965159  : 抱歉，應該是π/2才對，所以結果是0。
→ ac01965159  : 但是不解的是，cosy跟1/x不是都可積嗎?
推 j0958322080 : 1/x看起來在你的積分範圍內不可積
→ ac01965159  : 大概了解了，感謝
→ ac01965159  : 不好意思又遇到一個問題
→ ac01965159  : https://i.imgur.com/gaYjA9n.jpg
→ ac01965159  : 因為這題解答就是用這種做法去積分的，但是他的1/
→ ac01965159  : x也是不可積，那為什麼這個式子會成立呢?
→ j0958322080 : 因為他不是1/x
→ ac01965159  : 還是不太能理解...能請大大說明一下嗎？因為目前只
→ ac01965159  : 有觀察到分子如果是sinx在那個上下限是不可積的，
→ ac01965159  : 但是arctan是可積的。
→ ac01965159  : 看不太出來兩個分母都是x有什麼差別。
→ ac01965159  : 後來想通它們的差別了@@
→ wohtp       : 問題不在1/x，畢竟積分下界都很乖，是代無限大進去
→ wohtp       : 才壞掉。
→ wohtp       : sin 的極限不存在才是原因。