→ yhliu : 用 Taylor's expansion 的 Cauchy remainder. 05/15 08:30
如題想證明：
f(x) = (1-x)^0.5 , x<=1
∞ f^(n)(0)
證明 f(x) = Σ ───── * x^n, for │x│< 1
n=0 n!
注意到並非只要算f^(n)(0)/n!的收斂半徑就完成了
卡住的點如後詳述，謝謝！
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令 f(x) = (1-x)^0.5 , x<=1
(2n-2)! 2n-1
經由計算 f^(n)(x) = - ───────── * (1-x)^(-──)
^^^^^ 2^(2n-1) * (n-1)! 2
f的n次微分
(2n-2)!
因此 f^(n)(0) = - ─────────
2^(2n-1) * (n-1)!
再來令 a_n = f^(n)(0)/n!
又經由計算 a_n^(1/n) → 1
∞
所以藉由root test，定義 g(x):=Σ a_n x^n 收斂 for │x│< 1
n=0
但是，這並不保證 f(x) = g(x) for │x│< 1
最常見拿來示範的例子就是 e^(-1/x^2)
接著想要證明 f(x) = g(x) on │x│< 1
回顧 Apostol 有給的充分條件，套用在這個case的話，只要我們能證明：
存在 M > 0 使得 │f^(n)(x)│<= M^n, for │x│< 1 ---(●)
那就證畢
在我湊不出他的 M 的時候，思考一下或許在這個case並不會有這麼強的充分條件
也就是說，可能沒達成(●)但是還是能達成 f(x) = g(x)
因此回顧最小充分條件，只要我們能證明：(x=0本來就會成立)
f^(n)(y)
for 0 <│x│< 1, │────*x^n│→ 0 uniformly for y between 0 and x --(★)
n!
那就證畢
但不巧的是，(★) holds only for -1<x<0
任何一個 0<x<1，都會讓(★)爆掉
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總結來說，我現在只有 f(x) = g(x) on -1< x <= 0
那另外一邊到底怎麼證的？
還是根本不相等？
還是用integral form？(求詳細)
謝謝幫忙！
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