[中學] 高中的NG定理(性質)

[Desperato (肥鵝)]

本篇想要整理出一篇

你以為是對的，確實也是對的，但其實課本沒證！的定理


要符合以下的其中一種
(1) 被很多學生，甚至老師，當成理所當然，其實不是那樣
(2) 誤以為已經證明過的性質(其實只是介紹過)

盡量避免
(3) 以前考過，最近的課綱刪掉了，單純超出範圍的性質
(4) 單純是一些題目內會出現的常用公式(只是課本沒教)

我想要蒐集的是那種，意外！我以為有證啊...
啊啊啊，感覺很難解釋，總之舉個例就知道了




‧高一上：數與式

(1)  r 是有限或循環小數  <-->  r 是有理數

(2)  log_2(3)、(10)^(1/3) 是無理數

(3)  √2^√2 是無理數

(4)  除了加減乘除根號做出來以外的數，是不可尺規作圖的數字

(5)  算幾不等式 n 個的版本


‧高一上：多項式

(6)  勘根定理

(7)  若 √2+i 是有理係數多項式 f(x) 的一根，則 f 至少是 4 次

(8)  Gauss lemma: f 是整係數多項式, g, h 是有理係數多項式
     若 f = g h, 則存在整數 c 使得 g/c, ch 都是整係數多項式

(9)  f(x) 次數不大於 n, 通過 n+1 個點(x坐標相異), 這樣的 f(x) 唯一存在

(10) f(x) 除以 x^4 - x 的餘數, 可以將 x^4 代換成 x

(11) 多項式圖形會和 x 軸相切 <--> 該處有重根

(12) f(x) 除以 g(x) 的餘式是 r(x)
     則 f^3 除以 g 的餘式，等於 r^3 除以 g 的餘式

(13) 代數基本定理


‧高一上：指對數

(14) a > 0, n 正整數, 則 b = a^(1/n) 是滿足 b^n = a 的唯一正根
     a > 0, r 實數, a^r 的定義

(15) 指數函數的定義域、值域、單調性、凹凸性


‧高一下：數列與級數

(16) a_n = a_(n-1) + 2a_(n-2) 的一般式



‧高一下：排列組合 / 題型和解法五花八門，節哀順變

(17) 將 1~9 號球分成三堆，有 9!/(3! 3! 3! 3!) 種分法
     p.s. 課本其實沒有教第四個 3!

(18) nx << 1, (1+x)^n ~= 1+nx
     物理常用近似公式之一



‧高一下：機率

‧高一下：數據分析

(19) 最小平方法
     有證。沒錯，課本附錄居然有證明...

(20) 給定一組資料點，若某一點往平均移動/拉離平均，則標準差會減少/增加



‧高二上：三角函數

‧高二上：直線與圓 / 都是線性規劃的錯


(21) 如果目標函數不是直線，則最大最小值還是發生在邊界，但不一定是端點
     常見例子是 x^2 + y^2 或 y/x


‧高二上：平面向量

(22) 斜坐標

(23) 柯西不等式 n 個的情況


‧高二下：空間向量

‧高二下：空間中的平面與直線

(24) 田字窗戶的光投影，直線會維持直線，但線段比例會改變

(25) 平面上圖形，投影至另一平面，面積會乘上 cos x (兩面角)


‧高二下：矩陣 / 主要問題都是出題老師拿線代考高中生


(26) (AB)C = A(BC)
     若 AB = I, 則 BA = I
     det(AB) = det(A) det(B)

(27) 轉移矩陣的穩態是否存在


‧高二下：圓錐曲線


(28) 二次曲線和直線的關係(含切線)
     果然這不能照般多項式啊。99課綱表示要避免教這個

(29) 光學性質、漸進線各性質、焦距焦軸
     課綱刪光光了



‧高三上：機率與統計II / 這次有教期望值、常見分布

(30) 常態分布
     99課綱說可以介紹這個東西的數學表示法(驚恐)

(31) 信心水準
     個人私怨，超級討厭(?)


‧高三上：三角函數II / 這次有教弧度、圖形、疊合、複數極式


(32) x < 5度左右, sin(x) ~= x ~= tan(x)
     物理常用近似公式之一



‧高三下：極限 / 基本上靠直觀帶過去

(33) 羅必達


‧高三下：多項式微積分 (自然組)


(34) sin(x) 的微分是 cos(x)
     物理的簡諧運動會碰到




啊啊啊完蛋了快睡著了，總之先打到這邊

其實我比較想要的大多都集中在高一
高二高三的部分很少(感覺只是普通的超出範圍...)

板友也可以幫忙想想看其他常被誤解有證明的定理
或是指出我的列表哪裡有問題，我現在腦袋不太清楚了qw q




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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.28
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1557745664.A.C44.html
→ Dreamer1007 : 圓錐曲線跟二次曲線及幾何定義是相等的 也算沒證的
→ Dreamer1007 : 吧
推 Vulpix      : π也是無理數。
→ Dreamer1007 : det那裡不就是爆開嗎xD 連線代n階的不也是定義爆開
→ Dreamer1007 : +induction證嗎
→ Vulpix      : 說起來我們老師有逼人把3x3行列式相乘的定理爆開XD
→ Vulpix      : 可以不需要爆。有一個2n階行列式的證法。
→ Vulpix      : 說起來，三角不等式也沒證明。
推 G41271      : 沒證是什麼意思?是單純指課本沒寫?還是高中數學無法
→ G41271      : 證明? 例如算幾不等式, wiki上那個證明可以嗎
推 Vulpix      : 課本沒有或課綱不准講的吧。
推 oToToT      : 高一的那些東西，我的高一老師都有好好把他證完XD
→ oToToT      : 每節上課上課都聽了一堆證明
推 aikotoba    : 我當初上課有些老師有證過欸 不過我是數資班的
→ Desperato   : 沒證的首要條件是課本沒寫 不過畢竟我沒有把課本拿
→ Desperato   : 來看 第二是有些(但不是全部)的學生或老師 會忘記
→ Desperato   : 去證明(或至少宣佈這個不能證)
→ Desperato   : 很多命題本身並不難 只是沒想到要證明而已
推 Vulpix      : 想起來了，相似形定理也沒有證明過。
→ Vulpix      : 例如：三內角決定三邊長比例。所以三角函數的定義也
→ Vulpix      : 岌岌可危。
這是幾何學公設的問題
所有幾何學公設都閃不掉SAS全等或相似當公理
(應該是吧 歐幾里得 希爾伯特 B開頭那個都是 Tarski忘了)
推 Vulpix      : 把歐氏空間當黎曼流形就OK了。
把歐幾里得的幾何原本拿來用，都好過manifold啊我都要忘光了(眼神死)
而且manifold的定義不需要依賴R^n嗎？還是只有differentiable的才要
就算可以用manifold，總也需要characterization吧，那個就會是axiom了
→ Vulpix      : 說起來，Rudin複分析連π和sin、cos都重新定義一遍
※ 編輯: Desperato (140.112.25.48), 05/14/2019 14:04:08
→ Vulpix      : manifold 要 locally homeo. to R^n，換成 diffeo.
→ Vulpix      : 的話就變成 diff. manifold。切空間上的 bilinear
→ Vulpix      : form (positive definite) 就成為一個 metric。
→ Vulpix      : 到這兒應該都沒有遇到 R^n 的奇怪性質。
→ Desperato   : 我的意思是 如果manifold的定義有用到R^n 那R^n就
→ Desperato   : 不能用manifold當定義吧 會變循環論證
→ Desperato   : R^n 必須要用獨立於 manifold 的東西定義
推 Vulpix      : 可是只先當成 Banach space 來看待而已也不行嗎？
推 wayne2011   : 你講出來的"最小平方法"其實已經是大學的證明,ok嗎?
→ Desperato   : 是沒錯 但99課綱有要求高中課本寫證明喔
推 LimSinE     : 很多人也以為1+1=2是對的，證明請看本版第一篇
推 wayne2011   : 去年五月中網友問的還沒有證明出"等圓",到昨天才寫.
推 wayne2011   : viviani定理由於來自國中教材~因此高中課本當然沒證