Re: [微積] 一題線積分請教

[alan23273850 (God of Computer Science)]

※ 引述《ac01965159 (leeleo)》之銘言：
: https://i.imgur.com/GCwDgXS.jpg
: 我想問的是第b題，一開始因為知道他在(0,0)以外的那一點是保守場，所以我先找出他
: 的勢函數為arctan(y/x)+c，再代入線積分基本定理，將上下限端點帶進勢函數後，上限
: 的結果減去下限的結果，最後得到的結果都是0。
: 但是如果轉成參數式然後再積的話，得到的結果卻是π，算了很久都不知道問題在哪裡
: ，還請各位不吝指教，謝謝。
:

這學期當改作業 TA，回文幫助我自己複習，順便賺個批幣。

要從 ∂P/∂y = ∂Q/∂x 推得保守場，該場域必須是 simply-connected 才能保證，

而不是單純直接把 (0,0) 那個點挖掉，即使找到勢函數，該函數也有自己的適用範圍，

所以還是不能說該場域就是保守場。

你會發現上半圓跟下半圓的線積分值不同，這就是一個 "非保守場" 的證明。

但是這題怪的點就在於為什麼找到勢函數 arccot(x/y) 還是可以算出上下兩半圓積分，

因為 arccot(x/y) 只在 y=0 不連續，所以上半邊和下半邊又能形成各自的小保守場，

所以上半圓積分 = arccot(-1/0+) - arccot(1/0+) = pi - 0 = pi，而

下半圓積分 = arccot(-1/0-) - arccot(1/0-) = 0 - pi = -pi。

簡單來說，上半平面、下半平面各自為保守場，但合起來就不是，所以兩者積分值不同。

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推 Vulpix      : C_1的一個夠小的neighborhood是π_1=0的。
→ Vulpix      : 用Arg(x,y)不是不行，只是要調整好而已。
→ alan23273850: 乾我發現我錯了，找到勢函數是可以的，等等修文。
※ 編輯: alan23273850 (140.112.175.74), 05/15/2019 17:34:52
→ alan23273850: 已修正完畢，這題真的是很好的教材
推 ac01965159  : 謝謝大大的說明。
→ ac01965159  : 而且這剛好就是您學校的教材@@
→ alan23273850: 不瞞您說這題剛好是我們上上禮拜的作業題目，是課本
→ alan23273850: 習題，不過算是每個老師都會勾選到的