推 Desperato : 推 05/26 00:34
※ 引述《nike19920517 (一杯ㄍㄧㄍㄧㄍㄧ)》之銘言：
: 目前只有證出3/2h<a，想不到等號從哪下手
: 而a跟k的關係，只有用三角形兩邊和大於第三邊知道2a>3k，就開始鬼打牆了
: https://i.imgur.com/fVUMJG1.jpg
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另一個作法，算是證明費馬點的國中作法。
https://imgur.com/V7kzz1B.jpg
把 △ABC 連同 P 一起順時鐘繞著 B 點旋轉 60 度。
因為 C 被轉到 C'，P被轉到 P'，所以 P'C' = PC。
又 △PBP' 是正三角形，所以 PP' = PB。
故 a = AP + PP' + P'C' ≧ AC' = 2h。
這就是標準的費馬點證明。
繼續用同一張圖。
https://imgur.com/yT5y1p3.jpg
直線 PQ、直線 P'Q' 都平行於 BC。
首先我們觀察 △APQ，其中 ∠P 顯然比 60 度大 (左邊三角形的外角)，
所以 ∠Q > ∠P，也就是說 AP < AQ。
接下來，先做出正三角形 △PQR，R 點繞 B 點旋轉時會被轉到 Q'，
所以 PQ = PR = P'Q'，故 PP' = QQ' < QC + CQ'。
再觀察 △P'Q'C'，其中 ∠P' > ∠Q' (= 60 度)，
所以 P'C' < Q'C'。
加總以上三式，得到 a = AP + PP' + P'C' < AQ + QC + CQ' + Q'C' = 2k。
所以 2h ≦ a ＜ 2k。（當然 3h/2 肯定比 a 小。）
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