[代數] 多項式分解存在性的問題

[shiburin (希布凜)]

我想問的是 [ factorial ring 的多項式也是 factorial ] 證明裡的一步

一般課本的證明會移到 quotient field 上去證明

但是我想問的是

在原本的 ring (因為是 integral) 上不是也有 deg (fg) = deg(f) + deg(g) 的性質嗎?

這個不是可以用來說明多項式分解成 irreducible 的多項式可以分解成有限項嗎?

為什麼還要特別跑到 quotient field 上去引用 field 多項式分解的存在性呢?

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.7.185 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1559803902.A.BC5.html
推 Vulpix      : 不是存在性的問題，是唯一性。不分解也是一種分解。
→ Vulpix      : 然後 ring 不一定能定義 deg。
我不太懂不分解也是分解是什麼意思
還有我記得 factorial 定義裡有 integral domain 這樣應該可以定義 deg 吧?
明確一點，我是想問除了一些從多項式裡提出來的係數需要用到唯一分解
多項式本身的分解可以下圖這樣說明就可以了吧?
https://imgur.com/Hi4xwie
※ 編輯: shiburin (140.112.7.185 臺灣), 06/06/2019 16:00:21
→ Desperato   : 因為factorial ring = unique factorization doma
→ Desperato   : in 吧 重點是唯一分解
→ Desperato   : 所以只有證明分解不行 要證明分解只有一種
→ Vulpix      : Z 是一個 integral domain，deg(100)=?
→ Desperato   : 舉個例子 設c=sqrt(-5) 則 R = Q[c] 不唯一分解 6
→ Desperato   :  = (2)(3) = (1+c)(1-c) 此時多項式 R[x] 也不會唯
→ Desperato   : 一分解
→ Desperato   : 反例 6x^2+(1+5c)x+(-7+c)
→ Desperato   : =(3x+2+c)(2x-1+c)
→ Desperato   : =((1-c)x+2+c)((1+c)x-1+c)
→ Desperato   : 所以光只是分解不行 還要說明分解是唯一的 field的
→ Desperato   : 多項式是ED 所以當然唯一分解 這就是為什麼要搬過
→ Desperato   : 去用的理由
推 Desperato   : 啊我的反例是錯的XD 那不是反例 算了www
推 Desperato   : 啊啊 其實 6=(2)(3) 本身就是R[x] 反例了
→ Desperato   : 這樣的話我的反例還是反例 但多此一舉就是
推 Vulpix      : Q要換成Z吧。
→ Desperato   : 對 搞錯了qw q