[代數] 為什麼 Reduction mod p 要是 p 是質數?

[shiburin (希布凜)]

在整數多項式

難道不行 Reduction mod n，n 是任意整數，然後其他敘述不變嗎?

這個問題的源頭其實是來自這裡

https://imgur.com/Efy1dEA

畫紅線的部分說他不一定是field

所以他說要借助一個 Principle ring R_(p) [定義如下]

https://imgur.com/qnKgFQb

這樣他的 R_(p)/ pR_(p) 才是一個 field

但是我回去看 Z[t] 上的 Reduction mod p 的證明裡

只有用到首項係數不能消失

好像沒有用到 Z/pZ 是 field 的性質啊 ?

甚至好像改成 mod n 也可以 ?

我哪裡想錯了，有什麼反例嗎 ?

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推 b00yakyu    : 如果p不是質數的話 R_(p)就不會是well defined的環
→ b00yakyu    : 例如p取6的話1/2和1/3都在R_(p)裡面(2,3不被6整除)
→ b00yakyu    : 但(1/2)*(1/3)=1/6就不屬於R_(p)了(分母是6)
呃這我知道，我的問題不在這裡
我的問題主要是為什麼 reduction 過去的要是 field 呢?
例如整數多項式用 reduction 時是用 mod p，因為 Z/pZ 是 field
但是好像用 mod n 也可以 ?
→ Desperato   : 一定要 field 的理由還沒想到 但 mod n 肯定不行
→ Desperato   : 因為連quotient field都沒有
→ Desperato   : 嗯 其實應該也可以啦 如果只是要test irreducibil
→ Desperato   : ity 的話
推 Desperato   : 我覺得問題是出在 如果不是 integral domain, 那要
→ Desperato   : check irreducibility 是靠北麻煩的事情
→ Desperato   : 舉個例子 在Z/6Z[x]裡頭 x = (3x-4)(2x-3), 也就是
→ Desperato   : 連 x 都能分解XD
→ Desperato   : 所以雖然的確mod n也對 但光檢查就能玩死你
→ Desperato   : 而只要是integral domain 那 gauss lemma 表示可以
→ Desperato   : 直接考慮 quotient field 就好 所以都直接看 fiel
→ Desperato   : d 了
那 在 K 可約 → 在 R 可約 → 在 R/pR 可約 → 在 R/pR 的 quotient field可約
這段想法有哪一步是錯的嗎 ?
我一直想不通到底為什麼有必要要用個 R_(p) 來證明
推 Vulpix      : 第一個箭頭很顯然嗎？是不是要在地化一下？人在外
→ Vulpix      : 面不方便思考XD
第一個是 Gauss lemma (吧?)
→ Vulpix      : 嗯，對，應該沒問題。那邊做 localization 很多餘。
哦 感謝你~
推 Vulpix      : Z/6Z[x]裡面，好像沒有不能分解的東西，用CRT。
→ Vulpix      : x+1=(4x+1)(3x+1)  f=f*1=1*f，找一個g=f(mod2)、
→ Vulpix      : g=1(mod3)，h=1(mod2)、h=f(mod3)，就搞定了。
欸 0_0 似乎真的是這樣
推 Vulpix      : 好像還是說錯了，unit太無聊，0靠zero-divisor搞定
→ Vulpix      : ，剩下的所有東西都能寫成兩個東西的乘積，所以根本
→ Vulpix      : 沒有不可約的東西，大概是這樣。
欸? 上面說的 Chinese Remainder 不行那樣算嗎?
→ Vulpix      : 如果是拿1或5去跑CRT的話，得不到unit以外的東西。
→ Vulpix      : 整個Z/6Z[x]拆成：0，1、5(unit)，2=2*4，4=4*4，
→ Vulpix      : 3=3*3，剩下的跑CRT。也沒到錯的程度，沒有講清楚就
→ Vulpix      : 是了。平常談可約的時候都不考慮0、1等元素的。
哦，謝謝
※ 編輯: shiburin (140.112.25.121 臺灣), 06/12/2019 10:45:08