推 kittor : 好久沒玩到jacobian了 06/16 23:47
推 spirit119 : 推 06/17 05:14
※ 引述《j123783391 (盧盧)》之銘言：
: https://i.imgur.com/cBeYHK1.jpg
: 想破頭了
通常都是用這個會比較快一點：
10x_1^2 + 6x_1 x_2 + 2x_2^2
= [ (x_1-3x_2)/√10 ]^2 + 11[ (3x_1+x_2)/√10 ]^2
= x^2 + 11y^2
然後用這組新的 x, y 來算積分。
「剛好」 Jacobian = 1。（其實早就湊好了。）
∞ ∞
所以原本的積分變成 ∫ e^{-x^2}dx * ∫ e^{-11y^2}dy = √π * √(π/11)
-∞ -∞
= π/√11
如果覺得剛剛的對角化太特別，可以嘗試其他配方手段，一樣能做，
只是會稍微有一點辛苦而已。
例如配成 10( x_1 + 0.3x_2 )^2 + 1.1x_2^2，
然後按照這個重積分的順序去做：
∞ ∞
∫ {∫ e^{-10( x_1 + 0.3x_2 )^2} dx_1} * e^{-1.1x_2^2} dx_2
-∞ -∞
第一層積分是 √(π/10)，乘上 e^{-1.1x_2^2} 後計算第二層積分
會得到 √(π/10) * √(π/1.1) = π/√11，結果理所當然是一樣的。
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