Re: [中學] 遞迴數列

[LPH66 (IS YOU)]

※ 引述《banmi (數學小天兵)》之銘言：
: a_{n+1}=2a_{n}(1-a_{n}),且 a_{0}=2,n=0,1,2,3,...
: 求 a_{n} 的一般式。
: 小弟土法鍊鋼鍊了一下,找不太到規律,希望有大大可以幫忙解惑。
配方得 a_{n+1} = -2(a_n - 1/2)^2 + 1/2

移項後可變成 a_{n+1} - 1/2 = -2(a_n - 1/2)^2

把 -2 的負號也移到左邊: 1/2 - a_{n+1} = 2(1/2 - a_n)^2

所以就有推文這個代換:

: → ZO20        : b_n=1/2-a_n                                       06/20 06:05

代換後變成 b_{n+1} = 2(b_n)^2

兩邊乘以 2 寫成 2 b_{n+1} = (2 b_n)^2, 再代換 c_n = 2 b_n

就成了 c_{n+1} = (c_n)^2, 這東西的通式容易得到是 c_n = (c_0)^(2^n)

(平方平方一直疊上去)

首項是 b_0 = 1/2 - 2 = -3/2, c_0 = -3

所以 c_n = (-3)^(2^n), b_n = (-3)^(2^n)/2, a_n = [1 - (-3)^(2^n)]/2

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  'You've sort of made up for it tonight,' said Harry. 'Getting the
sword. Finishing the Horcrux. Saving my life.'
  'That makes me sound a lot cooler then I was,' Ron mumbled.
  'Stuff like that always sounds cooler then it really was,' said
Harry. 'I've been trying to tell you that for years.'
                               -- Harry Potter and the Deathly Hollows, P.308

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推 alan23273850: 這我還不推爆
推 chemmachine : 本題為戶口調查映射，x_n+1=rx_n(1-x_n) r=2情形
→ chemmachine : r=2和r=4有解析解，r=2用lph66大方法，或不動點置換
→ chemmachine : r=4用an=sin^2thitan代換，其餘r值多為讓an表現混沌
推 chemmachine : wiki 戶口調查映射，wolfram logistic map r=2，4
→ LPH66       : 我還是第一次知道 logistic map 有這個譯名...
→ LPH66       : 維基百科的詞條叫「單峰映象」感覺比較好懂一點
→ LPH66       : 總之, 這方面延伸出去的東西不少
→ LPH66       : 題目只問 r=2 就點到就好
推 Vulpix      : 原來是以前ODE常看到的logistic！那時候最不懂的就
→ Vulpix      : 是為什麼這東西有名字XD
推 sunev       : 回樓上，因為原作者想要和logarithmic做對比
推 banmi       : 為了感謝,每天來推一次好了....
推 banmi       : 再來感謝一次....