Re: [中學] 嚴格遞增函數的定義

[LPH66 (IS YOU)]

※ 引述《ppu12372 (高能兒)》之銘言：
: 我看它的定義是
: 對所有的x 在 [a,b]之間
: 若a<b，則f（x）<f（b）
: 為什麼不是用  若且唯若?
: 它是one to one function,反過來應該成立呀
: 已知兩個數 A < B，因為one to one，
: 可知A=f（a），B=f（b）
: 所以a<b    應該也成立吧？

: 推 LPH66       : 反過來需要 "一對一且 f(a)<f(b) 則 a<b"            06/28 11:33
: → LPH66       : 而不是原本方向的 "若 a<b 則 f(a)<f(b)"            06/28 11:34
: → ppu12372    : 可是嚴格遞增函數不就一定是一對一了嗎？            06/28 11:43
: 推 LPH66       : 你現在是想要對「函數」定義「嚴格遞增」的性質      06/28 11:44
: → LPH66       : 所以大群體是全體函數而不單限定在一對一函數        06/28 11:45
: → LPH66       : 嚴格遞增函數是一對一沒錯, 但所有函數並不都是      06/28 11:45
: → LPH66       : 因此你要用反向的話必須加上「一對一」的條件才行    06/28 11:46
: → ppu12372    : 若x不等於y,則x<y或x>y,根據定義，前者f(x)<f(y),後  06/28 11:47
: → ppu12372    : 者f(x)>f(y)，所以f(x)不等於f(y)                   06/28 11:47
OK, 我好像搞懂我們在雞同鴨講什麼了...

首先我們就從最初的定義開始

(A1) 「嚴格遞增函數」就先用原本的定義: 它是個函數且滿足「若 a<b 則 f(a)<f(b)」

由 (A1) 可以推出 (B) 嚴格遞增函數是一對一

推法就是你的 11:47 兩條推文

我講的是如果只把這個條件反過來是不行的

(A2) 「嚴格遞增函數」定義(?)為: 它是個函數且滿足「若 f(a)<f(b) 則 a<b」

(A2) 這個定義跟 (A1) 並不等價, 至少有函數滿足 (A2) 定義但不滿足 (A1) 定義

(例子很好舉這裡就省略)

不過如果加上一對一的條件就行了:

(A2+B) 「嚴格遞增函數」定義為: 它是個一對一函數且滿足「若 f(a)<f(b) 則 a<b」

這個 (A2+B) 就跟 (A1) 是一樣的了

然後剛才想了一下, 你想講的應該是這個 A3 定義:

(A3) 「嚴格遞增函數」定義(?)為: 它是個函數且滿足「a<b 若且唯若 f(a)<f(b)」

如果是這個的話, 多加條件其實是有機會縮小範圍的

有可能多了反向條件會導致原本在範圍內的被排除

不過在這裡的 (A1) 和 (A3) 則正好等價

這種狀況下其實你要不要加上這個基本上沒什麼限制力的「條件」是都可以啦

我會誤會成 (A2) 是因為一般來說這種定義如果想要考慮反向條件的話

通常是會考慮單獨只有反向條件是否能有類似的結果

如果是在已有的條件上多加的話有可能會限制原本的討論範圍

並且就算等價, 你要說明所討論的東西符合定義多一個條件就要多證明一條

所以一般才不這麼做

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推 ppu12372    : 嗯嗯，我要講得就是A3，原來是考慮到怕證明時會更麻
→ ppu12372    : 煩～
推 chemmachine : 推這篇，ppu12372的想法也有類似的定義，序嵌入或
→ chemmachine : 序同構。一個看起來錯誤的想法可能有另外一種定義或
→ chemmachine : 公理
推 chemmachine : f(x)<f(y)=>x<y 則若x<y，根據三一律，有f(x)<f(y)
→ chemmachine : f(x)=f(y)以及 f(x)>f(y) ，f(x)>f(y)會導致矛盾。
→ chemmachine : 所以 只有f(x)=f(y)以及f(x)<f(y)，屬於非嚴格遞增
→ chemmachine : 1-1函數可以剔除f(x)=f(y)這個選項。