[線代] Quadratic Form 的一個敘述的證明

[shiburin (希布凜)]

我問題的來源是

維基的 Proofs of Fermat's theorem on sums of two squares 裡面的

Lagrange's Proof through quadratic form 的這個條目

如下圖畫黃線的地方

https://imgur.com/qxO5zqA

我感覺這個陳述有點奇怪

例如說 2x^2 + 2xy + y^2 也是 b^2-4ac = -4

但是他的矩陣的特徵值跟 x^2 + y^2 根本不一樣

連相似都沒有，更別說有整係數的特徵向量了...

可是後段 sums of two squares 的證明又依賴在這個陳述上

請求各位大神指教，謝謝

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推 LPH66       : 但 x=x',y=y'-x' 代入 2x^2+2xy+y^2 可得 x'^2+y'^2
推 Vulpix      : equivalent不是相似。
→ Vulpix      : A 與 B 等價，意思是有一個 SL(2,Z) 的 Q 讓 A=Q'BQ
推 LPH66       : 以我舉的代換為例就是
→ LPH66       : [1 0] = [1 -1] [2 1] [1  0]
→ LPH66       : [0 1]   [0  1] [1 1] [-1 1]
→ LPH66       :   A   =   Q'     B     Q
原來我把這跟正交對角化的概念搞混了...
那黃線的那段敘述大概要怎麼證明啊 ?
※ 編輯: shiburin (140.112.249.200 臺灣), 07/03/2019 19:29:50
推 LPH66       : 現代有矩陣理論了可以直接對 A=Q'BQ 兩邊取行列式
→ LPH66       : A B 這邊的對稱矩陣其行列式乘以 -4 等於原式判別式
→ LPH66       : 如果單只要證 -4 這一族的話應該可以代數硬上?