作者chemmachine (chemmachine)
看板Math
標題Re: [代數] 空集合的一些問題
時間Thu Jul 4 14:03:08 2019
※ 引述《ttPttPtt (ttPtt)》之銘言:
: 主要想釐清關於空集合的一些問題,我有自己的想法再麻煩各位看看是否對或錯?
: 以下我用(i), (ii), ...區分不同命題的子題
: {}表示為空集合
個人觀點,有錯請指正。
: 1、對於{}(i)沒有任何元素,且(ii)是任何集合的子集合
(i)空集合沒有任何元素,正確 (ii)空集合是任意集合子集,正確。
: 2、對於{{}}(i)有一個元素(←我們應該如何稱呼他?空集合?還是純粹一個元素為{})
{}是{ {} }的元素 元素有集合的集合可叫做collection(類)
: (ii)為包含空集合的集合?還是要稱他為包含{}這個元素的集合?
{{}}記做包含空集合的集合,也等於包含{}這個元素的集合 ,{}唸做空集合
: 3、{{},{{}}}有兩個元素,分別有元素及四個子集合
{{},{{}}} 有{} 和{{}} 兩個元素, 有空集合、{ {} }、{ {{}} }、全集合這四個子集
: 4、定義×為Cartesian cross product,則{}×{}={(x, y)|x∈{} and y∈{}}=
{}?
正確,任意集合和空集合笛卡爾積為空集合,例子考慮二維平面,x取x軸任意座標
y取y座標空集合就是不取,則(x,y)沒有任何點,也就是空集合。
: 5、若視{}為對交集及聯集之0元素(類似加法與乘法的0元素,{}交集A={}與{}聯集A=A
: 類似A×0=0與0+A=A),那麼一般來說不唯一存在交集單位元素使得1交集A=A?
空集為聯集之單位元素,A聯空集合=A 等價於 布林代數A+0=A
A交空集合=空集合等價於 布林代數A*0=0
全集為交集之單位元素,A聯全集合=全集合 等價於 布林代數 A+1=1
A交全集合=A 等價於 布林代數A*1=A
: 6、我們應該使用,{}∈{}還是{}⊆{}(我認為是後者)
?
{}包含於{} {}屬於{}這個概念錯的,應該是{}屬於{ {} }才對
另為一提,若U屬於U,U為宇集合會導致悖論,用羅素內涵公理視為本性類或可排除。
: 7、若x⊂A and x∈A,則x={}又因所有對於{}的命題題恆為真,
: 故∀x∈{}則x⊂A and x∈A為真,所以x={}?
: (因為不存一一個「東西」使得該東西同時為元素與集合,是這樣說的嗎?)
: -----
我們構造{a}包含於{a,{a}}同時{a}屬於{a,{a}}
{a}會滿足你的敘述x={a} ,{a}不等於空集合。
: Sent from JPTT on my HTC_X10u.
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→ chemmachine : 因為若x屬於空集合,因空集合包含於任意集合A 07/04 14:15
→ chemmachine : 代表x屬於任意A,就是說討論空集合裡的元素會得到 07/04 14:16
→ chemmachine : 任何可能的結果,所以有些定理一開始必須說明討論 07/04 14:20
→ chemmachine : 非空。基本上討論宇集合和空集合都要很小心。很多悖 07/04 14:21
→ chemmachine : 論。光集合就有三大悖論。 07/04 14:21
推 ttPttPtt : 大感謝!!果然觀念還是有些不清楚的地方,謝謝您 07/04 15:33
→ chemmachine : 不客氣。你的問題很好,我以前剛學集合也想很久。 07/04 15:35