Re: [代數] 空集合的一些問題

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《ttPttPtt (ttPtt)》之銘言：
: 主要想釐清關於空集合的一些問題，我有自己的想法再麻煩各位看看是否對或錯？
: 以下我用(i), (ii), ...區分不同命題的子題
: {}表示為空集合
個人觀點，有錯請指正。
: 1、對於{}(i)沒有任何元素，且(ii)是任何集合的子集合
(i)空集合沒有任何元素，正確 (ii)空集合是任意集合子集，正確。
: 2、對於{{}}(i)有一個元素(←我們應該如何稱呼他？空集合？還是純粹一個元素為{})
{}是{ {} }的元素 元素有集合的集合可叫做collection(類)
: (ii)為包含空集合的集合？還是要稱他為包含{}這個元素的集合？
{{}}記做包含空集合的集合，也等於包含{}這個元素的集合 ，{}唸做空集合
: 3、{{},{{}}}有兩個元素，分別有元素及四個子集合
{{}，{{}}} 有{} 和{{}} 兩個元素， 有空集合、{ {} }、{ {{}} }、全集合這四個子集
: 4、定義×為Cartesian cross product，則{}×{}={(x, y)|x∈{} and y∈{}}=
{}？
正確，任意集合和空集合笛卡爾積為空集合，例子考慮二維平面，x取x軸任意座標
y取y座標空集合就是不取，則(x，y)沒有任何點，也就是空集合。
: 5、若視{}為對交集及聯集之0元素(類似加法與乘法的0元素，{}交集A={}與{}聯集A=A
: 類似A×0=0與0+A=A)，那麼一般來說不唯一存在交集單位元素使得1交集A=A？
空集為聯集之單位元素，A聯空集合=A 等價於 布林代數A+0=A
                      A交空集合=空集合等價於 布林代數A*0=0
全集為交集之單位元素，A聯全集合=全集合 等價於  布林代數 A+1=1
                      A交全集合=A   等價於 布林代數A*1=A
: 6、我們應該使用，{}∈{}還是{}⊆{}(我認為是後者)
？
{}包含於{}    {}屬於{}這個概念錯的，應該是{}屬於{ {} }才對
另為一提，若U屬於U，U為宇集合會導致悖論，用羅素內涵公理視為本性類或可排除。
: 7、若x⊂A and x∈A，則x={}又因所有對於{}的命題題恆為真，
: 故∀x∈{}則x⊂A and x∈A為真，所以x={}？
: (因為不存一一個「東西」使得該東西同時為元素與集合，是這樣說的嗎？)
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我們構造{a}包含於{a，{a}}同時{a}屬於{a，{a}}
{a}會滿足你的敘述x={a} ，{a}不等於空集合。
: Sent from JPTT on my HTC_X10u.

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→ chemmachine : 因為若x屬於空集合，因空集合包含於任意集合A
→ chemmachine : 代表x屬於任意A，就是說討論空集合裡的元素會得到
→ chemmachine : 任何可能的結果，所以有些定理一開始必須說明討論
→ chemmachine : 非空。基本上討論宇集合和空集合都要很小心。很多悖
→ chemmachine : 論。光集合就有三大悖論。
推 ttPttPtt    : 大感謝！！果然觀念還是有些不清楚的地方，謝謝您
→ chemmachine : 不客氣。你的問題很好，我以前剛學集合也想很久。