推 JI1 : computer science empty set spiritual mathematics 07/18 12:14
推 ckscks178 : 原來如此我懂了 感謝大大回答m(_ _)m 07/18 20:48
※ 引述《ckscks178 (奇蒙子資本主義社會 教育)》之銘言：
: 題目來源 顏國勇 微積分2014 電子書p32
: 例3 試利用 ε-δ 方法以求 limx→2 x^3=?
: 想問一下 法二 分解法 底下這兩行
: |x -2|<ε/19 Λ |x -2|<1,
: ← |x -2|<min{ε/19,1}
: 為什麼這兩行的關係是 ←而不是⇔呢？
: 上面|x -2|<ε/19 Λ |x -2|<1不是也能推出下面
: |x -2|<min{ε/19,1}式子嗎
: https://i.imgur.com/5FGVj0a.jpg
: https://i.imgur.com/MulSai1.jpg
大概知道你的意思了。
Q1：「既然重點是 <=，那何必在前面幾行強調 <=>？」
還有，
Q2：「既然都強調 <=> 了，那又為何沒有所有的 <=> 都一起強調？」
首先我們必須清楚一件事：連續的定義用這種敘述的話就是要用 <=。
所以先從 Q1 開始談。
其實真的沒必要把 => 這一邊寫出來，所以強調 <=> 是不必要的。
說到寫出來的好處，大概就是可以直接跳過去。
看不懂什麼叫跳過去嗎？很正常，那是因為這本書的證明寫法太簡潔。
一般常見的書會搭配很多敘述性的句子參雜其中，然後把證明寫得像這樣：
法一： |x^3-8| < ε => -ε < x^3-8 < ε
=> 8-ε < x^3 < 8+ε
=> (8-ε)^{1/3} < x < (8+ε)^{1/3}
=> (8-ε)^{1/3} -2 < x-2 < (8+ε)^{1/3} -2
取δ= min{ |(8-ε)^{1/3} -2|, (8+ε)^{1/3} -2 }
（其實δ= (8+ε)^{1/3} -2，但沒有必要執著在這兒。
同樣，也不管 |(8-ε)^{1/3} -2| 其實是 2- (8-ε)^{1/3}。）
則當 0 < |x-2| < δ時，
-δ < x-2 < δ
=> 2-δ < x < 2+δ
=> (8-ε)^{1/3} < x < (8+ε)^{1/3}
=> 8-ε < x^3 < 8+ε
=> -ε < x^3-8 < ε
=> |x^3-8| < ε
有沒有感覺到很多東西被重複寫了兩遍？
如果我們一開始在上半部寫證明的時候就直接用 <=> 的話，
下半部就不用重複了，跳過去就好。
能夠接受的話，Q2 這個疑問就比較好解釋了。
因為作者覺得沒必要強調。
當我們想要跳過一些步驟的時候，起跳點和落地點都要寫出來。
min{ε/19, 1} 那邊也只有兩個步驟，根本談不上跳過。
其實，看習慣這類證明的話，甚至不必特地多寫一行 |x-2| < ε/19 ︿ |x-2| < 1。
因為這根本是 min 函數的定義，只是單純的換句話說而已。
寫也行，不寫也行，自己開心就好。
不過因為這本書選擇了簡潔的證明書寫方式，
所以除了法二另外拉出來的那一段要寫 =>，從頭到尾都可以只用 <= 就好。
畢竟沒有在下半部重複的問題。
你可能覺得書上這麼寫必有其道理，但這裡面真的沒有道理，只有喜好。
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