[幾何] regular surface, connected patch

[rtyxn (Steve)]

Hi! 有個問題想請教各位,謝謝。

目前在看do Carmo證明orientability的充要條件,附上課文供大家參考:

https://imgur.com/a/RqGVhTR

要問的是圖中用紅筆圈起來的部分,請問作者為何那麼篤定可以

找到一群connected coordinate neighborhoods(有些人叫surface patch)蓋住

regular surface?請問這個原理是什麼?在Munkres的拓樸學找的到嗎?

卡在這裡很久了,偏偏這個證明又得用connectedness,請賜教,感謝!

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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1564479878.A.39F.html
推 l6l6au      : 是拓墣的性質性質 在metric space裡都會對 就任選一
→ l6l6au      : 個點 然後開半徑為n的球 開countable個一定會蓋住
→ l6l6au      : 整個空間
這可以理解，但是parametrization怎麼來?要homeomorphism、smooth，還要

one-to-one的differential，這樣還找的到?
※ 編輯: rtyxn (1.163.51.63 臺灣), 07/30/2019 19:44:15
※ 編輯: rtyxn (1.163.51.63 臺灣), 07/30/2019 19:51:23
※ 編輯: rtyxn (1.163.51.63 臺灣), 07/30/2019 19:51:51
推 x710142857  : 這就定義。regular surface每點都有nbd和open disk
→ x710142857  : homeomorphic.然後open disk connected
→ x710142857  : connecetedness preserve under continuous map in
→ x710142857  : euclidean space.所以coordinate nbd也conneceted
→ x710142857  : 上述有英文字拼錯外加文法錯誤，別介意
謝謝。在網路上看到一個作法，大概就是上面所說的，分享一下:

設p為S上的一點，根據regular surface的定義，我能找到一個參數化X:U→S使得X(U)包
含p，假設X^{-1}(p)=q，既然q在開集U裡頭，我們可以找個R^2的開球把q包住，而且這
個開球躺在U裡面，開球當然是connected，而且把X限制在這顆球會得到另一個參數化，
剩下來的就是歷史了。
※ 編輯: rtyxn (1.160.16.109 臺灣), 07/31/2019 09:27:53
推 ruj9vul3    : Second countable啊（？