[中學] 指數方程式問題

[shmily000 ()]

  已知X、Y都是正實數

  試解X^(X+Y)=Y

      Y^(X+Y)=X

  Ans : X=1、Y=1 or X=1/2、Y=1/2

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→ Ricestone   : (X^(X+Y))^(X+Y)=Y^(X+Y)=X
→ Ricestone   : 所以X=1或(X+Y)^2=1 後式得X+Y=1 代回原式得X=Y
→ Ricestone   : 故X=Y=1/2
推 doa2        : 我是會相乘得(XY)^(X+Y)=XY,所以XY=1或X+Y=1
→ Ricestone   : 感覺不錯，不過我到XY=1之後就不知道該怎麼辦了
→ Ricestone   : 是代成X=Y^(-1)，再推得一次X=1or(X+Y)=-1嗎？
推 pphhxx      : 我是觀察兩式發現把X置換成Y結果不變，故令Y=X代入
→ pphhxx      : 得X^(2X-1)=1，所以X=1 or 1/2
→ Ricestone   : 只說置換不好吧，這不保證Y=X，應該還有別的說法？
推 doa2        : 呃對，把X=1/Y代回去，我只是說說我觀察到的啦
推 aikotoba    : 同取log就好了