推 wohtp : 泰勒展開多做一項就可以比較啦。應該是由(a/b)決定 08/10 10:31
※ 引述《GuanSi (冠希)》之銘言：
: 自己想到的一個問題，跟大家討論
: 如果x=(1+a)/(1+b)
: 而y=(1+3a)/(1+3b)，(a、b都遠小於1，且均為正)
: 想要找x跟y的關係式，有兩種想法
: 1.因為(1+k)^3 ~ 1+3k
: 故y=x^3
: 2.x ~ (1+a)(1-b) ~ 1+(a-b)
: y ~ 1+3(a-b)
: 故(y-1)/(x-1)=3
: 這兩個都是x跟y的近似式
: 但誰是比較準的?
想比較估計式 y1 = ( (1+a)/(1+b) )^3
y2 = 1 + 3*( (1+a)/(1+b) - 1 )
對於 y = (1+3a)/(1+3b) 的誤差
設函數 diff(a,b) = abs( y1 - y ) - abs( y2 - y )
讓電腦把diff(a,b)在原點附近都算出來、畫個圖，不就瞭然了?
甚至把a、b都是正數的限制放寬也可以。
幾個結論供參考：
(1) 在 a = b 時，兩種估計無異。
(2) 在 a =-3b 時，兩種估計無異。
(3) 在 a = -b 時，y1大勝。
(4) 在 0 = b 時，y2勝。
(5) a、b皆正的話，y1和y2半斤八兩，主要看a、b誰大。
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