→ musicbox810 : 請問上界怎麼算出來的? 08/22 13:32
→ LPH66 : x=√(y+x) 解得 08/23 04:04
→ LPH66 : 再由 f(x)=√(y+x) 函數的性質可知 08/23 04:06
※ 引述《hydrasmith31 ()》之銘言：
: 題目 https://is.gd/sRFInU
: 答案 2010^2-2010
: 想請問怎麼解呢
這題應該有點年紀了，是 2010 年的賀歲題。
解這種類型的問題，我們先照著原文章底下的推文：把根號的數目推至無窮。
√(y+√(y+√(y+...)) = 2010，此時 y = 2010^2 - 2010。
能這麼做是因為我們知道 a_n 收斂，
其中 a_1 = √y, a_n = √(y+a_{n-1}), n>1。
為什麼知道他收斂呢？
因為 a_n 遞增，而且有上界 (1+√(1+4y))/2。
但是，這個 2010^2 - 2010 太小了，因為我們的問題只有七重根號。
也就是說 x > 2010^2 - 2010。
接下來呢？
把根號的數目縮減。
先試著縮減到剩下一個根號，√y = 2010，與剛才的理由差不多，這個 y 太大。
所以目前我們有 2010^2 > x > 2010^2 - 2010，不夠夾出 [x]。
所以我們用兩個根號，√(y+√y) = 2010，
解出 y = 2010^2 + 0.5 - √(2010^2 + 0.25) < 2010^2 - 2010 + 1。
這個 y 仍然比 x 大，因此 2010^2 - 2010 + 1 > y > x > 2010^2 - 2010。
得到 [x] = 2010^2 - 2010。
這種題目的關鍵就是：透過把根號的個數增加或減少來達到估計的目的。
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