[代數] 0-1多項式的因式皆為0-1多項式

[willydp (willeliu)]

剛在MO上看到有趣的問題：

假設P(x)和Q(x)為首項為1，且係數為非負實數的多項式

P(x) = x^n + p_1 x^{n-1} + ... + p_n
Q(x) = x^m + q_1 x^{m-1} + ... + q_m

p_i, q_j >= 0


令R(x) = P(x)Q(x) = x^{n+m} + r_1 x^{n+m-1} + ... + r_{n+m}

假設所有的R(x)的係數r_k皆為0或1.

證明P(x)和Q(x)的係數p_i與q_j也必須為0或1.


（非）例:

R(x) = x^4 + 1, 可以分解為 P(x) = x^2 + √2 x + 1, Q(x) = x^2 - √2 x + 1
但是Q(x)的x項係數為負實數，不符合假設。


已知：
1. P(x)和Q(x)的係數必須介於[0,1]之間，並且必須是代數整數。
2. 次數12以下的R已被驗證。


原題：
https://mathoverflow.net/questions/339137/why-polynomials-with-coefficients-0-1-like-to-have-only-factors-with-0-1-coe

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推 chemmachine : z【x】over q impies over z
→ chemmachine : 去除掉係數全為有理數的情形。
→ chemmachine : 有教授回覆了。
→ chemmachine : 係數為無理數的情形就不好討論了。
→ chemmachine : 將多項式乘法映射至二進位乘法可以說明可分解的例子
→ chemmachine : ，如
→ chemmachine : 6=2*3 為110=10*11為x^2+x=x*(x+1)
→ chemmachine : 但很難說明不存在
→ chemmachine : 係數含介於0，1之間無理數
→ willydp     : 當然，假設係數有理數的話問題就變得太簡單了
→ willydp     : 一件有趣的事是不少人採用機率論觀點看這個問題