Re: [中學]面積極值

[chemmachine (chemmachine)]

※ 引述《HCPaulSC (失去方向)》之銘言：
: 已知四邊形ABCD , AB=BC=2 , CD=3 , AC=1
: 求四邊形ABCD面積的最大值
: 朋友來求解此題，但小弟脫離高中數學太久想了好久XD
: 我的想法是把四邊形切成兩個三角形，用1/2ab * sinC這個公式來求，最後再用算幾不等式，但算到後面就卡關了，發現既然題目要最大值，怎麼整理到後面會是大於等於 (?)
: 不知道是不是我思考的流程有哪裡出錯，有別的解法才對呢 Orz
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: Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z012DA.

AC應改為AD

這個整體來說是一個已經知道的定理，是一個難題。
整個大定理是等周定理及其引理，
等周定理：若周長固定，則面積為圓時面積最大。
證明WIKI有。
多邊形版等周定理：若周長及每邊長固定，則圓內接多邊形時最大。
當多邊形為四邊形，則圓內接四邊形面積最大。

一個簡易的半證明使用拉格朗日乘子法計算極值：
證明其為最小值要用海森矩陣試試看：
令
四邊形邊長依序為a、b、c、d，a和d夾角x，b、c夾角y，
則面積函數為1/2adsinx+1/2bcsiny
限制式為
a^2+d^2-2adcosx=b^2+c^2-2bccosy
a，b，c，d為已知
f(x，y)=1/2adsinx+1/2bcsiny+lumbda(a^2+d^2-2adcosx-b^2-c^2+
2bccosy)
f對x和y分別偏微分，消去lumbda再整理可得
tanx=-tany
故tanx+tany=0
tan(x+y)=0
sin(x+y)=0
x+y=0或pi
取x+y=pi為極值
故四邊形為圓內接四邊形。
再用圓內接四邊形面積公式得
sqrt(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)=
2*SQRT(3)  這裡s=1/2(a+b+c+d)=1/2(2+2+3+1)=4


REFERENCE：
1.https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%91%A8%E5%AE%9A%E7%90%86
維基百科
2.http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d173/17304.pdf
3.高中數學競賽教程，九章出版社(有非拉格朗日乘子的證明，在幾何的那幾個
章節，手上沒書)
4.http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2008/03/blog-post_20.html
彬爸部落格

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推 HCPaulSC    : 欸答案好像不是這個捏...
→ HCPaulSC    : 不過我懷疑我朋友講錯了，會不會是求最小值(答案是2
→ HCPaulSC    : √3)
→ HCPaulSC    : 不過還是謝謝你
→ chemmachine : 答案我算是2sqrt3，是這個呀。
→ chemmachine : 是最大值沒錯
→ chemmachine : 我寫得不對的話答案怎麼剛好對?
→ chemmachine : sqrt就是根號，這題只是等周的子定理
→ chemmachine : 這一題海森矩陣是三階的難算，將限制式消去變數較好
推 HCPaulSC    : 抱歉看太快看成4了XD
→ HCPaulSC    : 感謝 !
→ chemmachine : https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLart
→ chemmachine : icle18.jsp?mID=27406
→ chemmachine : 搜尋”以微積分的方法求四邊形面積公式” 張海潮教
→ chemmachine : 授文章，他上課教過，我有跟他討論過以上的證明。你
→ chemmachine : 只要知道用圓內接四邊形時就會面積最大，深層原因就
→ chemmachine : 是等周定理。圓內接四邊形面積網路上google一下公
→ chemmachine : 式就有。
→ chemmachine : 這些資料我以前就看過好幾天了，競賽書以前就整本
→ chemmachine : 算過。好像不是用微分解的。
→ chemmachine : 文中最小值更正為最大值，寫錯抱歉。