之前在FB社團看到一個題目(原題條件更強, 但我覺得不需要)
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令 f(x) 為在[0,1]間絕對遞增且連續的函數, g為其反函數
且 f(0)=0, f(1)=1
1
證明 ∫f(x)g(x) <= 1/3, 且等號成立若且為若 f(x)=g(x)=x
0
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先提一下當時有個很快速的幾何解法:
令 A = {(x,y,z): x<f(z), y<g(z)}
B = {(x,y,z): y<f(x), z<g(x)}
C = {(x,y,z): z<f(y), x<g(y)}
則 (1) A,B,C 互斥
(2) A,B,C in [0,1]X[0,1]X[0,1] 1
(3) vol(A) = vol(B) = vol(C) = ∫f(x)g(x) dx, 配合(1),(2) 證畢
0
但是我想要的是純分析解法 & 得到若且為若的關係式
目前嘗試了
(1) 算幾：2fg <= f^2 + g^2
(2) 積分科西：(Sfg)^2 <= (Sf^2)(Sg^2)
(3) Young's 不等式
都失敗，因為都卡在：f(x)>x時 g(x)就會<x 所以f(x)g(x) VS x^2 大小無法估計
(確實f(x)g(x)有可能一下子大於x^2, 一下子小於x^2, 但是不知為何fg的積分
就是會小於x^2的積分 = 1/3)
我嘗試的這些不等式都是卡在這裡
感覺沒有抓到點
請板友幫忙了~謝謝!
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