Re: [分析] int_{0,1} f(x)f^-1(x)dx <= 1/3(solved)

[LimSinE (r=e^theta)]

雖然標題是Solved，但還是提供一個解法

我們使用Young不等式：

AB <= 積分(0至A) f(t) dt + 積分(0至B) g(t) dt

"=" <=> f(A)=B <=> g(B)=A

這時代入A=g(x), B=f(x)再取 積分(0至1) dx
則
積分(0至1) g(x)f(x) dx

<= 積分 (0至1) 積分(0至g(x)) f(t)dt dx + 積分(0至1) 積分(0至f(x)) g(t) dt dx

積分換順序

= 積分(0至1) 積分(f(t)至1) f(t) dx dt + 積分(0至1) 積分(g(t)至1) g(t)dx dt

= 積分(0至1) f(t)(1-f(t)) + g(t)(1-g(t)) dt

此時利用 積分(0至1) f(t) dt + 積分(0至1) g(t) dt = 1 (也是Young不等式取等號)

= 1 - 積分(0至1) f(x)^2 + g(x)^2 dx

故證明了 積分(0至1) f^2 + g^2 + fg dx <= 1 (由算幾不等式知道比原題強)


問題來了

那這個較強的結果能不能從幾何法得到呢？

調整一下就可以了

A={ x<f(z), y<g(z)} = {x<f(z), f(y)<z}
B={ z<f(y), x<f(y)}
C={ y<g(x), z<g(x)} = {f(y)<x, f(z)<x}

體積分別為 fg、f^2、g^2 的積分

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 之前在FB社團看到一個題目(原題條件更強, 但我覺得不需要)
: ===========================================
: 令 f(x) 為在[0,1]間絕對遞增且連續的函數, g為其反函數
: 且 f(0)=0, f(1)=1
:       1
: 證明 ∫f(x)g(x) <= 1/3, 且等號成立若且為若 f(x)=g(x)=x
:       0
: ===========================================
: 先提一下當時有個很快速的幾何解法:
: 令 A = {(x,y,z): x<f(z), y<g(z)}
:    B = {(x,y,z): y<f(x), z<g(x)}
:    C = {(x,y,z): z<f(y), x<g(y)}
: 則 (1) A,B,C 互斥
:    (2) A,B,C in [0,1]X[0,1]X[0,1]  1
:    (3) vol(A) = vol(B) = vol(C) = ∫f(x)g(x) dx, 配合(1),(2) 證畢
:                                    0
: 但是我想要的是純分析解法 & 得到若且為若的關係式
: 目前嘗試了
: (1) 算幾：2fg <= f^2 + g^2
: (2) 積分科西：(Sfg)^2 <= (Sf^2)(Sg^2)
: (3) Young's 不等式
: 都失敗，因為都卡在：f(x)>x時 g(x)就會<x 所以f(x)g(x) VS x^2 大小無法估計
: (確實f(x)g(x)有可能一下子大於x^2, 一下子小於x^2, 但是不知為何fg的積分
:  就是會小於x^2的積分 = 1/3)
: 我嘗試的這些不等式都是卡在這裡
: 感覺沒有抓到點
: 請板友幫忙了~謝謝!

--
r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.3.99 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1568911528.A.19A.html
推 chemmachine : 推，神人+神方法，有空來研究。
推 znmkhxrw    : 嗨L大 剛剛才看到 沒錯我寫solved就是用Young's做出
→ znmkhxrw    : 只是我是A=f(x) , B=g(x), 所以直接做出原題的不等
→ znmkhxrw    : 式, 你給出的不等式確實比較強
→ znmkhxrw    : 但是我一直好奇 即便想出這解法 我還是覺得我是剛好
→ znmkhxrw    : 湊到 目前給不出說服自己的理由"為什麼"會想這樣做