[微積] 閉區間上的連續函數為有界函數

[ianlin1216 (伊恩可可)]

如圖
https://i.imgur.com/4nfUmNp.jpg
(1) 請教劃螢光筆底線的那兩行是什麼意思?

(2) 紅字的claim
" 存在c > 0 使得 最小上界 u* + c 屬於集合S , 證明u*=b " 這段紅字的作用是什麼?

謝謝各位高手指導



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.72.150.238 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1569231355.A.D92.html
→ Poincare    : 如果能證明b在S裡面  就得到f在[a,b]上是有界的
→ Poincare    : 因為f(a)是一個數   所以f在{a}上當然有界
→ Poincare    : 你寫下的claim看起來是想用b不在S裡得到矛盾
→ Poincare    : 因為如果u^*是S的上界  那u^*加一個正數不應該掉回S
https://i.imgur.com/K61tKNl.jpg
是的，但我也看不太懂矛盾在哪裡
※ 編輯: ianlin1216 (42.72.150.238 臺灣), 09/23/2019 18:04:27
→ Poincare    : 照你後面這張寫的   你應該可以不用管claim那句
→ Poincare    : 現在他就是假設f在[a,b]上不是有界  因此b不在S裡
→ Poincare    : 會有兩種情況：u^*=b 或 u^*<b
→ Poincare    : 分別說明兩種情況都會得到矛盾就好
→ Poincare    : 你的（A）裡面  因為假設u^*=b  因此f在[a,b-k]
推 chemmachine : 我會看salas課本lemmab.2.1的證明，很清楚。
→ Poincare    : 都有界  如果k是正的
→ chemmachine : https://imgur.com/a/5eIsaRj
→ Poincare    : 因此只需考慮靠近b的點是否也有界
→ Poincare    : 把你的證明完整寫下來  就是樓上照片中的詳細版本
謝謝Poincare大的詳細解說
推 chemmachine : 推poincare大，不過我其實看不懂原po所寫的證明。
→ chemmachine : 是教授給的嗎?
是的，是教授板書
※ 編輯: ianlin1216 (42.72.150.238 臺灣), 09/23/2019 18:53:30
推 znmkhxrw    : 其實假設無界然後藉由BW得到收斂子列得到矛盾一下子
→ znmkhxrw    : 就出來了
→ znmkhxrw    : 只是這方法也可以啦 都是完備性+連續的結果
推 ruj9vul3    : 假設你學過拓撲 compact set 被連續函數送到compact
→ ruj9vul3    :  set
→ APM99       : 這裡證明若p則q用了 反證法p且非q
→ APM99       : claim上一行是已知事實r  claim欲證非r
→ APM99       : 結果r與非r同時成立 矛盾 得證