[分析] Is C(K,R) an algebra?

[znmkhxrw (QQ)]

C(K,R):={f：K→R│f continuous}, K compact, R real numbers

想請問任何compact K都會讓C(K,R)是algebra嗎?

也就是說要證明：
(1) C(K,R)封閉性
(2) C(K,R)有常數1函數
(3) K中任兩相異點x,y都能找到f€C(K,R)使得f(x)與f(y)相異

其中(1),(2)顯然, 問題就在於(3)該怎麼general的構造呢?

當K=[a,b]時可以用線性內插得到(3)

但是general的K該如何得到(3)呢?

謝謝幫忙！

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推 Vulpix      : 如果你只是要manifold的話，並不難做啦。
推 LimSinE     : Urysohn Lemma
→ znmkhxrw    : V大意思是K manifold好造 general K未知嗎
→ znmkhxrw    : L大我查查感恩
→ znmkhxrw    : 查完Urysohn引理後 compact K只要多加上T_2這個條
→ znmkhxrw    : 件就會讓C(K,R)是algebra
→ znmkhxrw    : 看起來general K應該會有反例@@
整理一下, 會有這問題是因為在開放式課程聽到Stone-Weierstrass時有說到C(K,R)是tri
vial algebra

想了一下發現(3)不trivial

不過配合L大講的Urysohn引理, 高微探討的compact set都是在metric space, 自然會是T
_2(Hausdorff space), 所以可以用引理來說明(3)是成立的

而wiki裡面的S-W貌似不受限metric space, 所以看到其陳述時它把K直接假設為compact
Hausdorff

這樣應該就沒問題了~
※ 編輯: znmkhxrw (42.72.239.204 臺灣), 10/04/2019 10:26:14
推 Kodaira     : algebra沒有第三個條件...