[中學] 一題期望值

[demon (デモン@ptt)]

到路上隨機詢問路人星座，連續問到三個相同星座的人才算達成任務。
假設12個星座出現的機率皆相同，則完成任務需要詢問次數的期望值為_____次。

答案是157次，麻煩大家了，感謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.64.52.20 (臺灣)
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推 fup6jo3d93p : 假設E為連續三次問到牡羊座的人的期望值
→ fup6jo3d93p : E=3*(1/12)^3+(1+E)*11/12+(2+E)*1/12*11/12
→ fup6jo3d93p : +(3+E)*1/12*1/12*11/12
→ fup6jo3d93p : E=1884, 有12個星座所以除12得157
→ fup6jo3d93p : 或是你直接令e為此任務的期望值
→ fup6jo3d93p : e=3*(1/12)^2+(2+e)*11/12+(3+e)*1/12*11/12
→ fup6jo3d93p : 答案會是157
→ fup6jo3d93p : 等等我e的那條算式是錯的不好意思
→ fup6jo3d93p : 但是E的那條是對的
推 fup6jo3d93p : https://i.imgur.com/wn5AkrF.jpg
→ demon       : 懂了，是從最後往前推論
→ demon       : 如果像是AAA的狀態，期望值是3*(1/12)^2
→ demon       : BAAA的狀態，期望值是(11/12)*(1+e)
→ demon       : BBAAA的狀態，期望值是(1/12)*(11/12)*(2+e)
→ demon       : e=3*(1/12)^2+(11/12)*(1+e)+(1/12)*(11/12)*(2+e)
→ demon       : 解出e=157，感謝回答