Re: [幾何] local diffeomorphism

[willydp (willeliu)]

※ 引述《hyl770706 (hyliao)》之銘言：
: 我想請問 local diffeomorphism 有沒有下述的性質
: Let M,N be differentiable manifolds, and f:M --> N be a local diffeomorphism.
: Suppose Z is a closed subset in N such that the restriction
: f|_{f^{-1}(Z)}: f^{-1}Z --> Z
: is a bijection.
: Then there exists an open neighborhood U of f^{-1}Z such that the restriction
: f|_U: U --> f(U) is a diffeomorphism.
: (Prove or disprove)
: 謝謝

Z是compact的話該性質成立：

*.雖然沒必要，但為了方便，在M上固定一個riemannian metric，
 d(-,-)是M上的距離函數(可能取值無限大).

*.首先，f^{-1}Z必須是compact: 假如f^{-1}Z有組開覆蓋{U_i},
 那麼{f(U_i)}是Z的開覆蓋（因為f是open map）。
 由於Z是compact, 有限多個f(U_i)就能覆蓋Z, 因此那些U_i能覆蓋f^{-1}Z。

*.對所有n > 0, 令V_n為M上距離f^{-1}Z < 1/n的點所構成的閉子集。
 當n夠大時(n >= N時)，V_n的closure會是compact。

*.假設要證明的敘述不成立：對所有n >= N，存在V_n上的二個點a_n ≠b_n
 使得f(a_n) = f(b_n)。
 由於V_N的closure是compact, 此二序列{a_n}和{b_n}擁有收斂子序列。
 不妨假設{a_n}和{b_n}收斂。

*.假設序列{a_n}和{b_n}的極限分別為a和b。根據f的連續性，我們有f(a)=f(b)。
 由於f^{-1}Z為閉集合，a和b必須落在f^{-1}Z之中。因此a=b。

*.由於f是local homeomorphism，存在一個a=b的開鄰域V，使得f限制在V上為injective。
 當n夠大時，a_n和b_n必須落在V之中，然而a_n ≠b_n且f(a_n)=f(b_n)，與單射性矛盾。
 因此該敘述對Z是compact時成立。

*.其實不必選metric：可用M的locally compact和second countable的性質選V_n。


最後，如果Z不是compact,
利用N paracompact的性質可以選一組N的locally finite的開覆蓋{U_i}
並且可以縮小每個U_i, 得到一個小一點的開覆蓋{U'_i}，每個U'_i的closure為compact。
對每個U'_i的closure分別處理Z, 最後想辦法合起來。
大概是這樣，由於詳細寫起來很麻煩，留給你自己想。

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推 hyl770706   : 但是你就算分開每個都是local homeo合起來也不一定
→ hyl770706   : 是local homeo不是嗎?
→ hyl770706   : 我意思是homeo不是local homeo
應該這樣說: 假如U_i和U_j的交集為空，f^{-1}(Z交U'_i)在f^{-1}(U_i)
       找到的neighbourhood（稱V_i）
       和f^{-1}(Z交U'_j)在f^{-1}(U_j)找到的neighbourhood （稱V_j)
       f(V_i)和f(V_j)的交集必然為空，故相隔遙遠的U_i和U_j沒有image重疊的危險

       因此，對每個i, 只要看那些（有限多個）與U_i交集非空的U_j就好了。
       由於這些j只有有限多個，Z交集(這些U'_j的聯集的closure) 會是compact。
       套用compact的case在這個交集，得到f^{-1}(這個compact set)的開鄰域，W_i
       最後令V_i = 所有i附近的j(有限多個)的W_j的交集，再交f^{-1}U_i,
       此V_i會是f^{-1}(Z交U'_i的closure)的開鄰域。
       然後取所有V_i的聯集，可得到所求的f^{-1}Z的鄰域。
※ 編輯: willydp (81.194.27.158 法國), 10/17/2019 23:10:40
推 hyl770706   : locally finite的意思是for each point there is an
→ hyl770706   : open neighborhood s.t. there're only finite.....
→ hyl770706   : 但是這個開鄰域不一定可以取U_i
→ hyl770706   : 那你怎麼知道跟U_i交集非空的U_j只有有限多個呢?
因為根據paracompact的性質我可以縮小U_i，因此可以假設U_i的closure是compact
再根據locally finite, compact集只會與有限多個U_j相交
推 hyl770706   : 另外，我也不懂為何在V_i的聯集上f會是homeomorphis
→ hyl770706   : m
策略是：處理U_i的時候，如果U_j和U_i不相交，可以不用管U_j上選的V_j。
        所以只要考慮那些和U_i相交的U_j。
        每當處理U_i的時候，把Z和那些U'_j的closure相交一同納入考量，
        就可以避開U_j上選的開鄰域和U_i上選的開鄰域image重複的情況。
※ 編輯: willydp (81.194.27.158 法國), 10/18/2019 16:13:22