[分析] 角度 & sinx 定義問題

[znmkhxrw (QQ)]

想先提個問題來源：

高三的證明 lim_{x→0} sinx/x = 1 時, 在單位圓上"畫圖證明" sinx<x<tanx,0<x<pi/2

但是之前有印象有人在討論這樣算是證明嗎? 更延伸到平面幾何所推導出的結果

是否是對的論證? 比如正弦餘弦之類的定理

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嘗試回答這個問題時, 我下意識認為只要有定義就不會是問題

要證明 lim_{x→0} sinx/x = 1, 當然要先定義sinx

而sinx雖然有幂級數定義, 但是現在是嘗試說明單位圓上"畫圖證明"是有嚴格定義的

所以我們定義 sinx 為 角度為x, 斜邊為1的直角三角形的對邊

但是問題馬上就來了, 要定義角度、斜邊、直角三角形...整個超級麻煩

有去google角度的定義, 但是都沒找到想要的

我有嘗試用以下方式去定義:

令 S:={(x,y): x^2+y^2=1} 為單位圓

                                       1
對於 -1=<x<=1, 我們可以定義角度θ(x):=∫1/(1+t^2)^0.5 dt, 為一瑕積分
                                       x


這個積分是α(t) = (t,(1-t^2)^0.5) 在t€[x,1]的曲線長度定義

(順帶一提:

(a) θ(x)其實就是arccos(x), 前提是cosx有定義後才能這麼說, 現在

    還沒有任何三角函數的定義

(b) 會這樣定義是想直接把角度定義為單位圓弧長, 跟現在一樣

(c) 需要證明瑕積分收歛

)

可以證明θ：[-1,1]→[0,T]是絕對遞減的, 而T是θ(-1), 尚不知道T就是π

(或是可以直接定義π:=T)

因此定義 cosy:=θ^-1(y)：[0,T]→[-1,1] (因為θ有反函數)

再來定義 siny:=(1-θ^-1(y)^2)^0.5

最後還需要把[0,T]延伸到整個實數

整體變得好複雜而且好怪, 像是 sin^2y + cos^2y = 1

這個性質變成by definition...(雖然不同定義會有這樣結果不意外)

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最後總結為兩個問題：

1. 定義sinx為"角度為x, 斜邊為1的直角三角形的對邊", 這是否是well-defined?

   還是說問題就是在有一派的人認為把三角形畫出來就是三角形的well-defined了?

   可是當我問出這個問題時也覺得很奇怪, 是否well-defined應該不會因人而異

   所以平面幾何是否是well-defined應該是可以判斷對錯的命題吧!?

2. 有非平面幾何的定義方式參考資料嗎?

   我那樣定好累...還是就是那樣@@?

謝謝幫忙~~~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.248.101 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1572029040.A.227.html
※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 02:45:57
推 Vulpix      : 總是有一邊會很麻煩。如果先用power series定義sin
→ Vulpix      : ，那sinθ=對邊/斜邊就變成是一個定理而需證明。
→ znmkhxrw    : 嗯嗯 這個理解 只是定義sinx為[角度x的直角三角形
→ znmkhxrw    : 其對邊除以斜邊]這個敘述是否是良好定義...我覺得從
→ znmkhxrw    : 集合論出發的話應該是否定的
推 Vulpix      : 會嗎？你先建構歐氏空間，那麼有相同銳角的直角三角
→ Vulpix      : 形就都相似了，亦即邊長比例相同，從而定義良好。
可是問題就出現在歐式空間中 這句話"銳角的直角三角形"必須定義角度,銳,直角,三角形
因此我才會在文中先定義角度為那個積分值

才想問說角度的定義從集合論出發就是這樣嗎?
只是我從來都沒看過這種定法, 覺得是否有其他定義方式來定義銳角為x的直角三角形?

推 isaswa      : power series
我知道這條路的定義法
※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 14:19:32
推 isaswa      : 就原本的問題來說你可以直接由|cosx|<=1透過微分和
→ isaswa      : 簡單的代數運算來得到sinx<=x<=tanx你甚至不需要知
→ isaswa      : 道這些函數怎麼來 單純用這個identity證明極限存在
→ isaswa      : 因為在分析上真的要說"嚴謹"的方法就是用power seri
→ isaswa      : es定義回去(並且證明他們是同一個函數)
→ isaswa      : 其他先用解析幾何再反過來定義三角函數只是同一件事
→ isaswa      : 繞遠路而已
→ isaswa      : 你可以google參考一下"如何定義三角函數才算嚴謹?"
推 isaswa      : 而且三角函數從第一象限推廣到實數定義域的時候就
→ isaswa      : 已經捨棄"三角形"這個說法了 而是直接用單位圓座標
我知道從冪級數這個嚴格定義出發可以得到那些結果, 但是我問題是傳統的方式定義sinx
為角度為銳角x的直角三角形其對邊除以斜邊, 這方式"是否嚴謹", 如果答案是"是"的話,
 代表就一定會有角度的嚴格定義, 那是像我那樣定嗎?

如果數學家公認那種傳統的定義方式不嚴謹只是恰好結果是對的, 也是回答到我的問題了

在stackoverflow爬到一樣的問題 https://reurl.cc/zylqjk 看起來真的很麻煩...
※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 19:27:28
推 Vulpix      : 傳統的角度定義……就是歐氏空間單位圓的弧長啊。
了解~那就是那樣定了吧 感謝~
※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 23:18:58