Re: [中學] 一題存在性證明請益

[XII (Mathkid)]

※ 引述《littleme1125 (..)》之銘言：
: 一圓上有9點,可連出36條直線
: 已知這36條直線有紅有藍
: 且任取3點做一三角形,必有一紅邊
: 證:存在一個四邊形,四邊及對角線皆為紅線
: 請問這該如何證明

設點為v1,...,v9

由鴿籠原理可知

存在k使得vkvi(i≠k)這8條邊中必有6紅或4藍

(若每點連邊至多5紅且至多3藍,則每點恰連5紅3藍邊,但9*3=2*藍邊數,不合)

不失一般性,可設 (1) v9vi(1≦i≦6)為紅 或 (2) v9vi(1≦i≦4)為藍

若(1),則vi(1≦i≦6)這6點的連邊必有同色三角形

  但因無藍色三角形,故有紅色三角形,則此三角形三點與v9可構成紅色四邊形

若(2),則vi(1≦i≦4)這4點構成紅色四邊形

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.250.22.253 (臺灣)
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推 yyc2008     : 請問XII大這8條邊中必有6紅或4藍 鴿籠怎麼擺?
※ 編輯: XII (111.250.22.253 臺灣), 11/01/2019 23:22:22
→ Ricestone   : 老實說我還是看不太懂，為什麼要構成藍四邊形？
→ Ricestone   : 而且像(2)中，這樣有保證對角線也有嗎？
→ Ricestone   : 啊我知道了，只要把構成藍四邊形改成紅四邊形就好了
當然是我筆誤了XD
※ 編輯: XII (223.140.74.98 臺灣), 11/02/2019 06:15:12
※ 編輯: XII (223.140.74.98 臺灣), 11/02/2019 06:17:06
→ yyc2008     : 看不太懂.....若(1),單純不含V9的那6點自己互連,為
→ yyc2008     : 什麼會有3點共3邊連線一定是同色的?可紅可藍?
→ yyc2008     : 還有一個問題,題目說任取3點必有一邊是紅,題目怎麼
→ yyc2008     : 這麼確定除了全部連線都是紅的的情況外,還一定有其
→ yyc2008     : 他方法滿足任取3點一定至少有一邊是紅?這樣的狀況下
→ yyc2008     : 會不會其實我們做的都是全紅的狀況?
推 LPH66       : 單純只問是不是全紅的話, 僅 v1v2 和 v2v3 為藍也行
→ LPH66       : 當然藍邊有可能更多, 但可以確定的是不必然是全紅
→ LPH66       : 然後 (1) 是經典的 Ramsey(3,3)=6
→ LPH66       : https://tinyurl.com/yyzktav8
推 yyc2008     : 謝謝LP大,我讀一下證明,感謝
→ XII         : 這題其實就是R(4,3)=9
推 littleme1125: 我也是對最後的藍色四邊形疑惑很久，果然是筆誤XD
→ littleme1125:   感謝回答