推 fivechess : 謝謝您 11/04 07:28
推 xxxx9659 : 這個題目好有趣 11/04 12:12
※ 引述《fivechess (Arron)》之銘言：
: 如圖，目前想法是找規律，
: 但是應該工程浩大，請問大家有沒有其他想法，
: 感謝各位
: https://i.imgur.com/UnsmLk7.jpg
看起來應該是用連分數沒錯。
因為不太熟，花了一點時間計算XD
就先看你找的那幾個數字：
√2 = 1+1/(2+1/(2+...)) 後面都是反復加 2、除 1 這兩個動作。
= [1;2,2,2,2,2,...]
√3 = 1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(2+...))))
= [1;1,2,1,2,1,2,...]
連分數比大小的方法是先看整數：大的比較大。
整數一樣，就再看數列表示法的下一個數字：小的比較大。
還是一樣，看下一個：大的比較大。
之後就是小的大、大的大、小的大……
如果是有理數，連分數會停下來，缺項可以直接視為 +∞，方便比較。
(順便禁止連分數停在 1，因為會讓我們的數字表示法不唯一，類似 0.999...。)
例如：2/3 = 1/(1+1/2) = [0;1,2] = [0;1,2,+∞,+∞,...]
= 1/(1+1/(1+1/1)) = [0;1,1,1] 這個表示法，禁止。
連分數還有一個性質：
項數愈多的有理數，最簡分數的分子、分母就會愈大。
(當然前面的項必須相同才有比較的基礎。)
[1;2] = 3/2。
[1;2,2] = 7/5。
[1;2,2,2] = 17/12。
所以從上面的 √2、√3 可以看出來，
在 [1;2,2,2,2,...] 和 [1;1,2,1,2,...] 之間
分母最小的分數會是 [1;2] = 3/2。
然後 √3、√4 之間，也就是 [1;1,2,1,2,...] 和 [2;+∞,+∞,...] 之間
分母最小的分數會是 [1;1,3] = 7/4。
所以標準的演算法應該是先把 √n、√(n+1) 的連分數算到出現不同的項，
再根據大小順序去把中間項數最小、分母也最小的項插出來。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1572691197.A.8EC.html
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 11/02/2019 18:49:14