[中學] 圓

[Mistouko (Mistouko)]

題目：已知坐標平面上兩點A(3,9)與B(2,1)，若直線AB和圓x^2+y^2=10

      相交於P、Q兩點，則求 AP/BP + AQ/BQ =？


想法： 這一題可用硬幹法，利用直線AB的參數式，將P、Q作出假設，

       代入圓方程式中，但會非常難算，所以想請教是否有其它算法？！

       以下是我的想法：

       所求= (AP*BQ+AQ*BP)/(BP*BQ)

       其中因為A在圓外，B在圓內，

       連接BO交圓於兩點，應該可以用內冪性質算出 BP*BQ=5，

       且過A作此圓切線，也可以用切割性質求出 AP*AQ=80，

       但要套用到所求就會卡住，請高手們解惑，謝謝您 :)


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→ kittor      : 不知道參數抓在圓的話??
推 LPH66       : 不妨設順序是 A-P-B-Q, 若令 AP, PB, BQ 為 x, y, z
→ LPH66       : 則 AP*BQ+AQ*BP = x*z+(x+y+z)*y = xz+xy+yy+yz
→ LPH66       : = (x+y)(y+z) = AB*PQ; AB 易求, PQ 可由弦心距求
→ LPH66       : 由此易知此值不只和 A B 的圓冪值(或等同的圓心距)
→ LPH66       : 有關, 還跟一個這兩個座標的"交叉乘積"常數有關
→ LPH66       : 而這個交叉乘積常數又依 AB 距離決定
→ Mistouko    : 太厲害了～完全忽略分子做因式分解就可以順利做出，
→ Mistouko    : 非常感謝^ ^