[線代] Adugate Matrix

[Lanjaja ()]

各位強者好，想請問一個wiki上的問題

https://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate_matrix

A adj(A) = adj(A) A = det(A) I

The above formula implies one of the fundamental results in matrix algebra,
that A is invertible if and only if det(A) is an invertible element of R.

Q1:
我知道<=方向很容易看出來，但是=>方向不知道怎麼利用A adj(A) = det(A) I 推出
如果det(A)=0或無窮大，則A不可逆？

我只做到adj(A) = det(A) A^(-1)，接下來也不知道怎麼下去了......

Q2:
另外一個問題是A adj(A) = adj(A) A = det(A) I適用於無限維度的矩陣嗎？

感謝各位強者的回答:)

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→ tommyxu3    : Q1利用 det AB = det A det B，這對所有交換環都對
也對無窮維方陣適用？

A adj(A) = adj(A) A = det(A) I => det(A)det(adj(A)) = (det(A))^n，然後？
我還是不知道怎麼從A adj(A) = adj(A) A = det(A) I得到那個結論？

對於有限維度的A，如存在A^(-1)，直接從AA^(-1)=I套用det(AB)=det(A)det(B)可以
得到det(A)!=0，但是我還是不知道怎麼從A adj(A) = adj(A) A = det(A) I得到，
因為卡在I還乘以det(A)，在不知道det(adj(A))的限制下，det(A)=0我也無法說不對
※ 編輯: Lanjaja (117.56.175.175 臺灣), 11/17/2019 08:20:11
→ tommyxu3    : 對有限維度 det A 在 R 裡的反元素就是 det A^{-1}
→ tommyxu3    : 跟是不是零無關
→ tommyxu3    : 無限維度，我不確定你的定義
我的問題是如何從A adj(A) = adj(A) A = det(A) I以及A有inverse這2個條件
推出det(A)不= 0

不要直接對A A^(-1) = I作det(A)det(A^(-1))=det(I)，因為我也做過，
這個方法並沒有用到A adj(A) = adj(A) A = det(A) I
※ 編輯: Lanjaja (117.56.175.175 臺灣), 11/17/2019 10:08:31
→ Lanjaja     : 無限維度的意思是矩陣大小是無窮大X無窮大 目前我先
→ Lanjaja     : 處理有限維的就好
→ wohtp       : regulator跟cutoff選好，把你的問題直接變成有限維
→ wohtp       : 度比較實在啦。
→ tommyxu3    : 1. 沒辦法
→ tommyxu3    : 2. 都考慮在一般的環上了，應該要知道非零未必可逆
→ tommyxu3    : 3. 無限矩陣要有某些有限的條件，不然乘法無法定義