[微積] 曲率的積分

[pophitjazz (沒有暱稱)]

太久沒碰積分，查了書自己還是算不出來，想請教以下曲率的微分方程該怎麼積分。

y"[1+(y')^2]^(-3/2)=1/k

照理說可以變數變換，令y"=z'，y'=z。代換完變成

z'[1+z^2]^(-3/2)=1/k

我做到這步驟就卡住。想要再變數變換就沒辦法了。有請版友幫忙解答了，謝謝。

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→ suker       : ∫(1+z^2)^(-3/2) dz = ∫(1/k) dx ？
→ pophitjazz  : 樓上，我就是做到這步驟就不會變數代換了。
→ suker       : z=tan u 用三角代換;  {z/√(1+z^2)}+c =(1/k) x
→ pophitjazz  : 對了，沒想到有三角代換，感謝，我再算一下。
→ pophitjazz  : 用三角代換，已經積出來了。後續的微分方程，我還是
→ pophitjazz  : 卡住，請問一下該如何繼續代換，謝謝。
→ kittor      : 我怎覺得可以是zdz/dy去代換y"的方法?
推 Vulpix      : 後面那一步就是整理出y'=...然後直接積分啊。
→ suker       : 很久沒做z^2/(1+z^2) = {(1/k) x+c2}^2
→ suker       : 1/(1+z^2) = {(1/k) x+c2}^2
→ suker       : 1/{(1/k) x+c2}^2  -1  =z^2 ,z=+-√.....
→ suker       : 整理錯了忽略一下後2排
→ suker       : z=+-  √{1/{(1/k)x+ C}^2    -1}
→ suker       : 後面積分不好算了
→ pophitjazz  : 昨晚我有整理一下，晚上我再來試。
→ pophitjazz  : 我應該解出來了，整理一下再貼。