Re: [其他] 1=0.9999999999999... 嗎

[Vulpix (Sebastian)]

又自刪= =


說你不懂 0.99... 就是因為你擅自把他想成是這個超實數：

[0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...]。

但是 0.99... 就只是 1 的另一個表示法而已。


1. 表示法

   很多時候，同樣的東西會有兩種以上的表示法。

   就像你是 china2025 也是 chronodl，

   這時候就可以說 china2025 = chronodl，

   但是在 PTT 帳號以外的範圍，這兩個字串通常是不相等的。

   0.99... 是個用來表示「實數」的記號，

   而且在其他人的認知中，就只是 1，擅自賦予其他意義是不應該。

2. 就算把 0.99... 視為 [0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...]，

   也可以類似地看成 [0.99, 0.9999, 0.999999, 0.99999999, ...]，

   而這兩個超實數並不相同，

   他們和 1 = [1, 1, 1, 1, ...] 分別相差

   [0.1, 0.01, 0.001, ...] 和 [0.01, 0.0001, 0.000001, ...]，

   後者顯然是前者的平方，而超實數系是個 field (可以正常加減乘除)，

   所以兩者必不相等，這會導致邏輯上的矛盾。

   當然可以定義只有前者才是正統，後者是歪道。

   但已經足夠說明不能用「視為」來為此辯護。

   也就是說，這是 0.99... 的定義問題：

   a. 應該作為有理數列 {0.9, 0.99, 0.999, ...} 在實數系中的極限。

   b. 作為超實數 [0.9, 0.99, 0.999, ...]。

   在通用符號中，都是採取 a 版定義，只有你想要用 b。

3. 即使在超實數系中，[0.99..., 0.99..., 0.99..., ...] 也只是

   [1, 1, 1, ...] 的另一種表示法，所以還是「1」。

   [0.99..., 0.99..., 0.99..., ...] 與 1 的差距還是 0，

   中間不存在任何無窮小數。


當然，超實數用起來挺令人愉快的，

像是無窮近兩點的函數值差直接就是微分啦，

無窮小的坐標差就等於 1-form 啦，

然後切向量就是那些無窮大啦

(TM 和 T*M 的無窮大無窮小觀點也可以反過來看)，

無窮小的李群元素差可以直接拿來算李代數啦，之類的。

畢竟我們有一個 st 函數，能隨時丟掉我們不想看到的尾巴。

不過要建構整套非標準分析的工具……

現在有不少數學系連高微都沒教完全建構實數的方法了XD


如果你是想用哲學/邏輯來貶低人，你還是省省力氣。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1575392763.A.0A4.html
推 znmkhxrw    : 超實數好有趣唷 有因為發展這套理論而解決的問題嗎
→ znmkhxrw    :  還是目前延展實數就夠了??
→ Vulpix      : 我覺得沒有也不會有就是了，他完全等價於標準分析。
推 vacuityhu   : 真的很愛自刪...看不懂
→ Vulpix      : 雖然我寫得好像很隨便，但是真要套上去的時候還是要
→ Vulpix      : 把流形tensor一個超實數系(over實數系)，或者說……
→ Vulpix      : fiber product。