看完前三章後提出一些討論、確認與反饋, 另外再次謝謝a大的貢獻, 受益良多
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【Ch2 EP2】
所有時域上討論的函數f(t)的函數值皆可以是複數域?
也就是說, f：R→R or C, 若文中沒特別標註則定理皆成立?
但V_k與V_(-k)強度相同但相位差負號是建立在函數值在實數域才有的現象
所以通篇只考慮函數值在實數域的狀況?
【Ch2 EP3】
最下方的量值圖跟相位圖分別是|V_k|跟∠V_k沒錯吧?
【Ch2 EP4 # 時限的圖解與證明】
(1) 時限訊號f(t)的定義是否是指一個有compact support的函數?
即在某個必區間外皆為0. 接著套用你I.II.III的引導, f(t)就週期函數定義來說
並非是週期函數, 但是我們可以由f(t)造出週期函數F(t), 而當週期趨近於無限大時
f(t)就會近似F(t)
(2) 在"將黎曼和轉為積分"那個轉換, 有參考資料確保相等嗎?
∞ ∞
即你的推導會需要 ∫ f(x)dx = lim x Σ f(a+nx) 何時成立?
a x→0+ n=1
我目前想到的兩個充分條件, 一者是單調遞減恆正/遞增恆負, 另者是有控制函數
但是觀察f(x) = sinx/x這個例子, 既沒有單調性也難找控制函數
但是藉由wolfram計算網站去驗證, 確實等號也成立
想說有沒有比較寬鬆的充分條件確保等號成立亦或是不成立的反例
但話說回來, 因為傅立葉級數跟轉換定義不同本來就合理, 只是你用級數取極限
的方式讓讀者接受傅立葉轉換的定義, 所以如果有些f會讓等號不成立也無傷大雅
【Ch2 EP5 # 計算範例】
下方解讀頻譜的意義時你說 "在其餘時點皆是固定常數，自然低頻成分較高", 代表
你認同"常數函數 = 頻率0 = 週期無限大", 這說法我很常聽到也很容易理解, 但是就
數學上週期函數定義, 常數函數的任何正數都是他的週期, 也就是說任何正數都是
他的頻率, 因此 "常數函數 = 頻率0 = 頻率無限大", 但是為什麼在傅立葉轉換
他是以"頻率0"的強度最高來呈現常數函數呢?
【Ch2 EP7】
這裡你提到 "實際計算實驗一下, 會發現對於週期性函數, 變數f代入有成分的頻率分析
會得到無限大，代其他頻率進去則會得到0", 這句話應該是指對於一個週期為T_0的函數
其傅立葉轉換代入f = n*f_0會得到無限大(f_0 = 1/T_0), 代入其他f會是0
但是我代入一個簡單又特殊又耳熟能詳的f(t) = 1, 書上都說他的傅立葉轉換是delta
function, 但是如果不用 "distribution" 來解釋delta function 單純套用傅立葉轉換
的定義, 完全無法得到V_f = 0 for any f != 0 (V_0 = +∞ 沒錯)
不論是用黎曼積分, 勒貝格積分, 或是柯西主值(柯西主值就是把你【Ch2 EP5】下方那個
計算範例的T_0取無窮, 參考https://www.desmos.com/calculator/qfwi6cwkm4),
都只能得到V_0 = +inf, 但是V_f 不收斂 for all f != 0
不管用怎樣的積分定義或是窗函數擴張都無法用傅立葉轉換的定義式得到1 <-> delta
【Ch2 本章總結 # 延伸習題】
(1) 第一題的(i)應是筆誤, 應該是e^j(θ_1+θ_2), 並非是乘
(2) 第五題的操作應該無法對非週期連續訊號做吧? 離散的可以, 但是這個操作放在連續
的章節感覺怪怪的
【Ch3 EP1】
在演示"調整視窗範圍到[-W,W]"的計算過程中,
sin(πf T_0)
用 lim ─────── 有什麼涵意嗎?
f→f_0 πf
把f_0都換成f以及lim_{f→f_0}全部拔掉就可以了吧?
【Ch3 EP2】
在演示設計濾波器的流程, 有三個想討論的地方：
(1)
我們想要找到某個實數域的h(t), 使得其傅立葉轉換F{h}(f)的絕對值等於方波,
而要解得h(t)就必須把F{h}(f)帶入反傅立葉轉換, 但今天你實作的程式碼卻是
代入|F{h}(f)|, 也就是說, 你默認了|F{h}(f)| = F{h}(f), 即相位差恆為0
也就是說, 你想要解得某個實數域的h(t)使得其傅立葉轉換是個相位差恆為0的方波
(題外話, 這個h(t)就是sinc吧?)
是否在用頻率設計濾波器時, 都是假設相位恆0來去解出他的時域h(t)?
我是怕有可能某個頻率設計的濾波器如果設定他相位恆0, 但是解出來時域h(t)有虛部
那就不符合我們要實數域h(t)的初衷了
(2)
承上, 電腦離散近似解的h(t)含有虛部不意外, 值也小然後我們就取 Reh(t)
但是能大膽這樣做是不是因為我們早已知道理論解h(t)就是sinc, 一個實數域函數
因此也符合虛部很小的現象
(3)
用電腦離散近似逼近連續傅立葉分析(即級數逼近積分), 這手法跟離散型傅立葉分析
應該還是有不一樣的地方吧? 還是我等看完後兩章就知道差異了
有時候覺得有點亂在於雖然傅立葉分離散跟連續, 但是電腦做連續又只能用離散
這兩個離散一樣嗎?
【Ch3 # 本章總結】
(1)
最下方藍色框框的證明可以提供嗎? 我蠻好奇證明過程中默認了哪些極限交換或是
級數積分交換, 雖然說想交換就交換蠻好證的, 但是還是想看標準或是你的證法
(2)
關於你提出"為何還原的時域訊號會延遲10秒"的問題, 我試著用h(t)的理論值取計算,
結果完全不會有延遲 (參考 https://www.desmos.com/calculator/wdc5sbxf8z
需要等一段時間畫圖做計算)
所以延遲10秒有可能是因為 (a) "連續型積分conv" 改成 "離散型級數conv"
(b) 離散型級數conv計算中有補0造成延遲
如果是(a)的話, 這可能我要看完後兩章才知道原因?
如果是(b)的話, 這是工程上的缺陷嗎? 還是為了加速才換來time delay這個缺失?
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討論有點多, 等看完最後兩章再繼續, 再次謝謝a大的付出~
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